线性代数习题及答案 1. 求下列各排列的逆序数. (1) 341782659;2) 987654321; (3) n(n?1)…321;4) 13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2. 【解】(1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36; (3) τ(n(n?1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n?1)=; (4) τ(13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2)=0+1+…+(n?1)+(n?1)+(n?2)+…+1+0=n(n?1). 2. 本行列式的展开式中包含和的项. 解: 设 ,其中分别为不同列中对应元素的行下标,则展开式中含项有 展开式中含项有. 3. 用定义计算下列各行列式. (1)2). 【解】(1) D=(?1)τ(2314)4!=24; (2) D=12. 4. 计算下列各行列式. (1);(2) ;(3);(4) . 【解】(1) ;(2) ; 5. 证明下列各式. (1) ;(2) ; (3) (4) ; (5) . 【证明】(1) (2) (3) 首先考虑4阶范德蒙行列式: 从上面的4阶范德蒙行列式知,多项式f(x)的x的系数为 但对(*)式右端行列式按第一行展开知x的系数为两者应相等,故(4) 对D2n按第一行展开,得 据此递推下去,可得 (5) 对行列式的阶数n用数学归纳法. 当n=2时,可直接验算结论成立,假定对这样的n?1阶行列式结论成立,进而证明阶数为n时结论也成立. 按Dn的最后一列,把Dn拆成两个n阶行列式相加: 但由归纳假设 从而有