<对数函数>数学分析: 对数函数作为学习了对数以后,解决对数求值中的困难,例如已知2x=10,如何求x的值,为了解决此类问题,我们引入对数函数,讲清了对数函数学习的必要性后,我们将定义对数函数,并结合指数函数的性质,利用类比的方法,对对数函数的,图象,定义域,值域,增减性进行研究. 具体分析如下: 一、知识结构分析 知识点1:对数函数 概念的定义:函数叫做对数函数. 概念的类型是属于"形式结构"定义,但定义的过程方式是属于内涵定义. 在定义的过程中,是由开始的,为突出定义的科学性,强调要有 ,但是给出函数为对数函数后,就明确了有,.定义蕴含分类讨论思想,数形结合思想.由定义的过程知对数函数与指数函数互为反函数,因而在研究的方法上可借助指数函数的研究方法进行,也可以转化为指数函数进行研究.从能力上体现对类比推理能力的培养训练,也包含对转化思想方法的应用. 借助指数函数的限制函数定义,可定义对数函数的限制函数. 知识点2:对数函数的性质 (1)值域是实数集R; (2)在定义域内,当时是增函数,当时是减函数; (3)图象都通过点(1,0). 没有将定义域归为性质是为了强化对函数定义的理解,强化通性通法,但也可以将定义域归为首条性质. 没有将性质以表格形式表述是为了强化对研究函数一般方法的理解与掌握,重过程、轻结论;重通性通法的应用,淡化对结论的记忆. 性质(3)表明对数函数存在唯一固定的零点1,探究函数是否存在零点也是研究函数性质的重要内容. 由函数与的图象给出对数函数性质体现:观察函数的图象是得出函数性质的重要方法之一,性质是对概念主要规律的刻划,可用归纳的方法得到.可以多用几个函数的图象强化,由对数运算法则知,既函数与的图象是关于对称的,当对数函数的底互为倒数时可用对称的方法研究,突出对对称(奇、偶)方法和转化方法的应用. 画对数函数草图的基本策略:三点法——(,)、(1,0)、(,1). 二、例题设计意图分析 例1:求下列函数的定义域(): (1)2). 本例示范对对数函数定义的理解,所给函数都不是对数函数,但是基本型都是属于对数函数型,可借助对数函数的定义进行思考. 对数的底数都为,强化定义域与底数无关. (1)的真数为"二次"型,强化对法则的认识,函数()与()是不同的,不能将函数的法则转化,还特别要注意是大于或等于0的,不是正数,隐含对学生情感态度的考查.对的求解既体现运算能力的考查,也体现对数形结合思想的应用,本例的解答还给出了表述形式的范例. (2)强化对一次不等式解法的复习巩固,相对(1)更为简单一些. 从例1的解答看,在对数型复合函数中,函数仅限于一次函数或二次函数型. 例2:(1)比较与的大小; (2)已知,求的取值范围. 本例是示范对性质(2)的理解与应用,第(1)题是当底数大于1时,已知自变量的大小关系,确定函数值的大小关系;第(2)题是已知底数,且当底数小于1时,已知函数值的大小关系,确定真数的大小关系. 解答两小题都要先构造出对数函数,突出对函数思想方法应用意识的强化.第(2)是属于对性质的逆用,要逆向思维,难度比第(1)题大,能力要求高. 三、练习题设计意图分析 练习A 1、复习巩固对对数函数性质归纳过程的认识,进一步强化对数形结合思想的应用和对研究函数性质通性通法的理解. 2、与例题1对应,不仅巩固对对数函数定义的理解,还突出了对性质(3)的应用,弥补了例题类型的不足. (1)巩固对定义的理解;(2)强化对性质(3)的理解与应用,体现数形结合;(3)巩固对定义的理解,但提高了运算技能的要求;(4)强化对性质(3)的理解与应用,体现数形结合. 3、与例题2的(1)对应,巩固对性质(2)的应用,是基本要求.四个小题分别为两个底数大于1,两个底数小于1,在底数大于1的第(1)小题还复习了对常用对数符号的记忆,要注意强化思维过程. 练习B 1、与例题2类似,已知函数的大小关系,确定真数或底数的大小关系. (1)已知真数及函数值的大小关系,确定底数的范围,真数小的函数值大,属于减函数型;(2)仍是已知真数及函数值的大小关系,确定底数的范围,首先要确定与的大小关系,对运算能力要求较高,属于增函数型;(3)与例题2的第(2)题相同,是已知底数,且当底数小于1时,已知函数值的大小关系,确定真数的大小关系.(4)可用两方法,直接应用性质(3)或构造0=,体现能力要求. 2、(1)既考查对常用对数符号的识别,又考查对性质(3)的应用;(2)与例题1的(1)相对应,巩固对定义的理解,同时考查如何确定使的的范围,综合性相对而言较高;(3)、(4)强化对函数都经过(,1)点的认识,同时强化对性质(2)的应用. 模块一必修五,数列教学设计框架, ??? 1.1 知识结构 ??? 数列这一章应主要包括一般的数列、等差数列、等比数列以及数列的应用四部分,重点是等差数列以及等比数列这两部分.数列这一部分主要是数列的概念、特点、分类以及数列的通项公式;等差数列和等比数列这两部分内容主要介绍了两类特殊数列的概念、性质、通项公式以及数列的前 n 项和公式;数列的应用除了渗透在等差与等比数列内宾的堆放物品总数的计算以及产品规格设计的某些问题外,重点是新理念下研究性学习专题,即数列在分期付款中的应用以及储蓄问题. ??? 1.2 数学概念 ??? 数学概念是反映数学对象本质属性的思维形式,它的定义方式有描述性的,指明外种延的,有种概念加类差等方式.一个数学概念需要记住名称,叙述出本质属性,体会出所涉及的范围,并应用概念准确进行判断.数列、等差数列、等比数列、通项公式等都属于数学概念,而且都属于陈述性概念,在设计这些概念的教学时,教师要注意向同学表明这些定义所揭露的概念的特点、本质,因为这些概念既是后续学习相应公式以及性质的基础,更是同学们准确解题的依据. ??? 1.3 数学公式 ??? 公式在一定的范围内具有普遍适用性,因而也具有抽象性,公式中的字母代表一定范围内的无穷多个数.有的学生在学习公式时,可以在短时间内掌握,而有的学生却要反来复去地体会,才能跳出千变万化的数字关系的泥堆里.在数列这一章主要涉及到等差数列的通项公式,等差数列前 n 项和公式及其变形公式,等比数列通项公式,等比数列前 n 项和公式及其变形公式.要使同学能牢固记住并熟练应用这些公式就必须让他们懂得公式的来龙去脉,掌握其推导思想及过程.在这一章有很多的变形公式,因此,教师要明确告诉学生哪个公式适用于哪种情形,以使解题变得简便易行. ??? 1.4 数学方法 ??? 数列这一章蕴含着多种数学思想及方法,如函数思想、方程思想,而且在基本概念、公式的教学本身也包含着丰富的数学方法,掌握这些思想方法不仅可以增进对数列概念、公式的理解,而且运用数学思想方法解决问题的过程,往往能诱发知识的迁移,使学生产生举一反三、融会贯通的解决多数列问题.在这一章主要用到了以下几中数学方法: ??? (1)不完全归纳法? 不完全归纳法不但可以培养学生的数学直观,而且可以帮助学生有效的解决问题,在等差数列以及等比数列通项公式推导的过程就用到了不完全归纳法. ??? (2)倒叙相加法? 等差数列前n项和公式的推导过程中,就根据等差数列的特点,很好的应用了倒叙相加法,而且在这一章的很多问题都直接或间接地用到了这种方法. ??? (3)错位相减法? 错位相减法是另一类数列求和的方法,它主要应用于求和的项之间通过一定的变形可以相互转化,并且是多个数求和的问题.等比数列的前 n 项和公式的推导就用到了这种思想方法. ??? (4)函数的思想方法? 数列本身就是一个特殊的函数,而且是离散的函数,因此在解题过程中,尤其在遇到等差数列与等比数列这两类特殊的数列时,可以将它们看成一个函数,进而运用函数的性质和特点来解决问题. ??? (5)方程的思想方法? 数列这一章涉及了多个关于首项、末项、项数、公差、公比、第n项和前 n 项和这些量的数学公式,而公式本身就是一个等式,因此,在求这些数学量的过程中,可将它们看成相应的已知量和未知数,通过公式建立关于求未知量的方程,可以使解题变得清晰、明了,而且简化了解题过程. ???2 学生期望的数列的教学设计 ??? 教学设计的对象是学生,最终的着眼点是为了学生的发展,因此从学生的角度出发考虑教学设计变得尤其重要. ??? (1)对于等差数列的概念以及通项公式的教学设计,他们更希望教师能给自己更多的参与空间 ??? 比如对于等差数列概念的教学,他们更期望教师能先列举几个等差数列的例子,同学思考、讲解其特点,找出规律,从而总结出什么是等差数列.因为他们认为,高中生的他们已经初步具备了一定的数学思维,已经学会了用思考、分析、理解去解决问题这种求知的方式不仅能让他们体会知识的形成过程,能深刻的理解与记忆知识,而且能够提高他们分析问题、解决问题,以及战胜困难的能力. ??? (2)不同数学水平的学生,对等比数列教学设计的看法不同 ??? 对于学习中等偏上的学生,他们希望教师能够通过与等差数列相应知识来进行对比教学,这不但有助于他们深入的理解等差数列的性质特点,而且能够使他们深刻理解与掌握等比数列的知识;但对于成绩落后的学生来说,他们觉得这种对比教学设计法反而会让他们感觉更加迷惑,容易混淆知识点,因此他们更希望能采用类似等差数列相应知识的教学法进行设计. ??? (3)数学史知识的引入颇受学生欢迎 ??? 数学史知识的适当引入不但能活跃课堂气氛,调动大家学习的积极性,激发学生学习数学的兴趣,使枯燥的数学变得更加生动有趣,而且有助于他们更好的接纳新知识因此 89.5%的学生都希望能在课堂上听到教师讲述有关的数学史知识. ??? 2.3 教材编订者对数列教学设计的关注点 ??? 教材编订者是对教材理念、教材设计思想的最权威把握,而教师要进行教学设计首先要把握教材,要把握教材就要懂得教材的理念,因此教材编订者的意见就显得尤为重要. ??? (1)注重数学的基础知识教学 ??? 知识是数学学科的基础与灵魂所在,因此"总的要求是使学生在正确理解数列这一概念的基础上,掌握等差数列、等比数列的通项公式与求和公式,能够熟练地解决有关问题".那么在讲解等差数列的性质时,教师要将等差数列的六条性质全部向学生交待清楚,并要求他们牢固掌握. ??? (2)注重对学生的启发教育 ??? 任何事物的产生都是有一定缘由的,数学知识也不例外,因此在教学过程中,应该尽可能向学生再现知识的发生过程.比如说等差数列概念的教学,为了让学生明白什么是等差数列,为什么要将等差数列这样定义,教师就可以在教学过程中先列举几个等差数列的例子,让学生观察、比较,概括共同规律,再由学生尝试说出等差数列的定义.这样让学生参与的课堂将是生动的课堂,而且很恰当地帮学生建立了知识体系,并帮助他们进行知识的记忆. ??? (3)注重知识的应用 ??? 新教材中加入了等差与等比数列研究性学习这一部分内容,目的在于教会学生将知识学以致用,用理论指导实践,而且培养了他们的合作意识、研究精神,这也是新理念所倡导的. ??? 3.对数列教学设计的实践分析 ??? 实践是最好的问题发源地,何种类型的教学设计更容易让学生接受,更易知识的传授,对学生的发展有帮助,要通过实践才能得以验证,为此我在长春市第二实验中学旁观了"数列"这一章的教学过程,给了我很大的启发. ??? 3.1 不存在"万能"的教学设计 ??? 对数列这一章的教学设计,不存在完全以"教"为中心,或以"学"为中心的极端教学设计风格.两种风格的教学设计,并不是是我非你,是你则非我的完全对立关系,并不是一定要肯定一方,而否定另一方,采用哪种模式的教学设计,要针对不同的教学内容进行选择.比如等差数列前 n 项和公式的推导课,我认真听取了二实验两位新教师对这一节课不同的诠释方法,第一位教师是基于以教师的教为中心的风格,第二位教师是基于以学生的学为中心,二者收到的效果也大相径庭.第一位教师以讲解为主,又由于本身能力所限,不能对学生进行很好的启发、诱导,因此很难将同学们的思路引到正确的路线上来,以至于同学们表现得不够积极,而且公式的推导也因为同学们的无法配合而显得过于生硬、艰难;第二位教师则将公式推导与梯形面积公式的证明联系起来,创设了恰当的教学情境,使公式的推导显得简单而水道渠成,而且同学们表现得也非常积极,教学效果非常好.但是对于等比数列的概念的教学,两种风格的教学设计若经过教师认真的思考,斟酌,都会是一个好的教学设计. ??? 3.2 教学设计要关注学生的需要 ??? 教学设计最终是为学生服务的,而学生原有认知水平,认知结构,以及接受能力都会因人而异,对于水平相对弱一些的学生,如果把课堂教给他们,让他们自己去探索、发现知识可能会有一些困难,因此,这于这样的学生更适合传统的讲授式教学,这不但能让他们在尽可短的时间内掌握最基本的知识,而且通过强化,能帮助他们对知识的记忆.市二实验的学生接受能力不能算最优秀的,因此他们的老师在习题课教学过程中,往往将简单易处理的问题留给学生讨论,而有一定难度的题,则由教师进行讲解,做到了以从学生需要出了,收到了良好的教学效果. ??? 3.3 教学设计还要尊重教师的教学习惯 ??? 对于有教学经验的老教师,他们经过多年的摸索、尝试,反思,已经沉淀出自己对特定知识的固有想法,而且这是被实践证明了的有效的方法.比如对于等差数的概念教学,某位特级教师就采用了以教为中心的教学风格:根据前一节所学知识(数列的通项公式),为了恰当地复习和引入本节课,也就是从承上启下的角度,在上课开始给出这样的一个题目: ??? 已知数列{an}的通项公式是:an = 3n-2 ??? (1)求a1,a2,a3,a4; ??? (2)求a2-a1,a3-a2,a4-a3,并由这三个式的值,猜想对任意的正整数n,都有an+1-an 值是否为同一个常数?如果是给出证明;如果不是,说明理由. ??? 让学生从这个具体的题目中,初步体会到等差数列的本质特征,即"等差".在这个短小精悍的情境设置当中学生既巩固到了上节课所学的内容,更重要的是比较轻松地感悟到等差数列的本质. ??? 总之,进行数列的教学设计,不存在永恒的教学设计模式,选择哪种教学设计风格,以什么样的形式呈现给学生,既要考虑到教学内容的特点,又要考虑到学生的因素,当然还与教师的教学风格有关,要综合多种因素,因情况而定,但好的教学设计就是既达到知识的传授,又能对学生的能力发展有一定的促进作用. 高中数学(苏教版)教材中值得商榷的截距的定义 笔者在高中数学(苏教版)必修二,(2007年6月第三版,2009年10月第6次印刷)直线与方程的教学中,对课本上直线的截距的定义产生了疑惑,现将产生的疑惑和个人想法做一陈述,希望和大家交流. 一、课本内容再现: 直线在轴的截距: 必修二72页,直线.我们称为直线在轴上的截距,这个方程由直线的斜率和它在轴上的截距确定,所以这个方程也叫做直线的斜截式方程. 旁注:就是直线与轴交点的纵坐标. 初中我们学习的一次函数,它的图像是一条直线,其中常数是直线的斜率,常数就是直线在轴上的截距. 73页,例1 已知直线经过两点,,其中,求直线的方程.解得直线方程为. 74页,其中称为直线在轴上的截距,称为直线在轴上的截距,这个方程由直线在轴和轴上的非零截距所确定,所以这个方程也叫做直线的截距式方程. 旁注:当直线过原点时,在轴和轴上的截距都为. 二、个人理解: 1、直线在轴上截距的定义: 72页从两个角度明确定义了直线在轴上的截距,从方程的角度看,直线在轴上的截距,就是将方程化为时常数的值,这里对斜率没有要求,也就是只要斜率存在即可,那就必然包括了斜率为的情况,所以若直线,则直线在轴上的截距就为3,那么若直线为,根据定义,直线在轴上的截距就为.从图象的角度就是直线与轴交点的纵坐标. 还是上边的例子,若直线,则直线与的交点为那么直线在轴的距就为3,若直线为,根据定义,直线与的交点为那么直线在轴的距就为0. 根据以上的定义,我们可以将所有直线分为三类,第一类:与轴相交的直线,即(均可为0),型的直线在轴的截距为;第二类:与轴不相交的直线,即,根据定义它们在轴上没有截距;第三类:与轴重合的直线,即的直线,在这里没有提及.到底是不存在还是截距为0呢?课本上没有作说明,让老师和学生没办法把握,甚至在这里的教学中产生了不同的理解.也许这个问题可以不去深究,不会影响学生对大多数问题的理解,但是笔者认为作为课本,作为中学数学教学,必须给学生一个明确的答复,因为我们肩负着培养学生精益求精,勇于探究的科学价值的意识.不能在这里没有答案就终止了.如果在这里没有一个明确的答案,我们如何给学生一个合理而完美的答案,如何去培养学生精益求精的科学态度呢? 2、直线在轴上截距的定义: 对于直线在轴上截距的定义,在这里讲的并不是很清楚,对于在两坐标轴上截距均不为零的直线非常明确,就是直线分别于轴、轴交点的横坐标与纵坐标,那么对于直线只与轴相交,不与轴相交时如何定义呢?这里没有说明,比如直线在轴上截距为多少呢,如果我们按照直线在轴上截距类比,那么直线在轴上截距就为3,不知是否正确. 3、对直线在坐标轴上截距相等的理解: 对于74也旁白中的内容,"当直线经过原点时,直线在轴和轴上的截距都为",那也就是说对于直线与的直线它们在轴和轴上的截距都为,是否也包含了课本72也对直线在轴上的截距的定义中,直线的一个补充呢? 三、思考与建议 就像我们在立几中定义直线与平面的夹角时,对特殊情况应尽一说明.必修二34也:"如果一条直线与平面平行或在平面内,我们说它们所成的角是的角"那么对于直线的截距的定义也应该明确告知,特别对于特殊的直线为了不产生歧义,应做特殊说明. 建议:除课本上的说明外,附加以规定:若直线方程为,则称直线在轴上的截距为,且直线在轴上没有截距;若直线方程为,责成直线在轴上的截距为,且在轴上没有截距. 四、课本习题重现 课本77页习题2.1(1)第8题 设直线的方程为,根据下列条件分别确定的值: (1)直线的斜率为; (2)直线在轴、轴上截距之和等于. 参考答案(2)原方程可化为,由得 个人观点:在这里题目中附加了条件,保证了方程化为截距式方程是有意义,也就意味着直线在坐标轴上的截距均不为,所以顺利的解决了问题,那么试问,如果没有条件,或者说当时问题如何解决,此时方程可化为满足条件吗?如果有了上述给定以后,则当时直线的方程即为,在轴上的截距为0,在轴上没有截距,以上说述只是个人的一点粗浅的见解,不当之处请批评指正.
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<对数函数>数学分析: 对数函数作为学习了对数以后,解决对数求值中的困难,例如已知2x=10,如何求x的值,为了解决此类问题,我们引入对数函数,讲清了对数函数学习的必要性后,我们将定义对数函数,并结合指数函数的性质,利用类比的方法,对对数函数的,图象,定义域,值域,增减性进行研究. 具体分析如下: 一、知识结构分析 知识点1:对数函数 概念的定义:函数叫做对数函数. 概念的类型是属于"形式结构"定义,但定义的过程方式是属于内涵定义. 在定义的过程中,是由开始的,为突出定义的科学性,强调要有 ,但是给出函数为对数函数后,就明确了有,.定义蕴含分类讨论思想,数形结合思想.由定义的过程知对数函数与指数函数互为反函数,因而在研究的方法上可借助指数函数的研究方法进行,也可以转化为指数函数进行研究.从能力上体现对类比推理能力的培养训练,也包含对转化思想方法的应用. 借助指数函数的限制函数定义,可定义对数函数的限制函数. 知识点2:对数函数的性质 (1)值域是实数集R; (2)在定义域内,当时是增函数,当时是减函数; (3)图象都通过点(1,0). 没有将定义域归为性质是为了强化对函数定义的理解,强化通性通法,但也可以将定义域归为首条性质. 没有将性质以表格形式表述是为了强化对研究函数一般方法的理解与掌握,重过程、轻结论;重通性通法的应用,淡化对结论的记忆. 性质(3)表明对数函数存在唯一固定的零点1,探究函数是否存在零点也是研究函数性质的重要内容. 由函数与的图象给出对数函数性质体现:观察函数的图象是得出函数性质的重要方法之一,性质是对概念主要规律的刻划,可用归纳的方法得到.可以多用几个函数的图象强化,由对数运算法则知,既函数与的图象是关于对称的,当对数函数的底互为倒数时可用对称的方法研究,突出对对称(奇、偶)方法和转化方法的应用. 画对数函数草图的基本策略:三点法——(,)、(1,0)、(,1). 二、例题设计意图分析 例1:求下列函数的定义域(): (1)2). 本例示范对对数函数定义的理解,所给函数都不是对数函数,但是基本型都是属于对数函数型,可借助对数函数的定义进行思考. 对数的底数都为,强化定义域与底数无关. (1)的真数为"二次"型,强化对法则的认识,函数()与()是不同的,不能将函数的法则转化,还特别要注意是大于或等于0的,不是正数,隐含对学生情感态度的考查.对的求解既体现运算能力的考查,也体现对数形结合思想的应用,本例的解答还给出了表述形式的范例. (2)强化对一次不等式解法的复习巩固,相对(1)更为简单一些. 从例1的解答看,在对数型复合函数中,函数仅限于一次函数或二次函数型. 例2:(1)比较与的大小; (2)已知,求的取值范围. 本例是示范对性质(2)的理解与应用,第(1)题是当底数大于1时,已知自变量的大小关系,确定函数值的大小关系;第(2)题是已知底数,且当底数小于1时,已知函数值的大小关系,确定真数的大小关系. 解答两小题都要先构造出对数函数,突出对函数思想方法应用意识的强化.第(2)是属于对性质的逆用,要逆向思维,难度比第(1)题大,能力要求高. 三、练习题设计意图分析 练习A 1、复习巩固对对数函数性质归纳过程的认识,进一步强化对数形结合思想的应用和对研究函数性质通性通法的理解. 2、与例题1对应,不仅巩固对对数函数定义的理解,还突出了对性质(3)的应用,弥补了例题类型的不足. (1)巩固对定义的理解;(2)强化对性质(3)的理解与应用,体现数形结合;(3)巩固对定义的理解,但提高了运算技能的要求;(4)强化对性质(3)的理解与应用,体现数形结合. 3、与例题2的(1)对应,巩固对性质(2)的应用,是基本要求.四个小题分别为两个底数大于1,两个底数小于1,在底数大于1的第(1)小题还复习了对常用对数符号的记忆,要注意强化思维过程. 练习B 1、与例题2类似,已知函数的大小关系,确定真数或底数的大小关系. (1)已知真数及函数值的大小关系,确定底数的范围,真数小的函数值大,属于减函数型;(2)仍是已知真数及函数值的大小关系,确定底数的范围,首先要确定与的大小关系,对运算能力要求较高,属于增函数型;(3)与例题2的第(2)题相同,是已知底数,且当底数小于1时,已知函数值的大小关系,确定真数的大小关系.(4)可用两方法,直接应用性质(3)或构造0=,体现能力要求. 2、(1)既考查对常用对数符号的识别,又考查对性质(3)的应用;(2)与例题1的(1)相对应,巩固对定义的理解,同时考查如何确定使的的范围,综合性相对而言较高;(3)、(4)强化对函数都经过(,1)点的认识,同时强化对性质(2)的应用. 模块一必修五,数列教学设计框架, ??? 1.1 知识结构 ??? 数列这一章应主要包括一般的数列、等差数列、等比数列以及数列的应用四部分,重点是等差数列以及等比数列这两部分.数列这一部分主要是数列的概念、特点、分类以及数列的通项公式;等差数列和等比数列这两部分内容主要介绍了两类特殊数列的概念、性质、通项公式以及数列的前 n 项和公式;数列的应用除了渗透在等差与等比数列内宾的堆放物品总数的计算以及产品规格设计的某些问题外,重点是新理念下研究性学习专题,即数列在分期付款中的应用以及储蓄问题. ??? 1.2 数学概念 ??? 数学概念是反映数学对象本质属性的思维形式,它的定义方式有描述性的,指明外种延的,有种概念加类差等方式.一个数学概念需要记住名称,叙述出本质属性,体会出所涉及的范围,并应用概念准确进行判断.数列、等差数列、等比数列、通项公式等都属于数学概念,而且都属于陈述性概念,在设计这些概念的教学时,教师要注意向同学表明这些定义所揭露的概念的特点、本质,因为这些概念既是后续学习相应公式以及性质的基础,更是同学们准确解题的依据. ??? 1.3 数学公式 ??? 公式在一定的范围内具有普遍适用性,因而也具有抽象性,公式中的字母代表一定范围内的无穷多个数.有的学生在学习公式时,可以在短时间内掌握,而有的学生却要反来复去地体会,才能跳出千变万化的数字关系的泥堆里.在数列这一章主要涉及到等差数列的通项公式,等差数列前 n 项和公式及其变形公式,等比数列通项公式,等比数列前 n 项和公式及其变形公式.要使同学能牢固记住并熟练应用这些公式就必须让他们懂得公式的来龙去脉,掌握其推导思想及过程.在这一章有很多的变形公式,因此,教师要明确告诉学生哪个公式适用于哪种情形,以使解题变得简便易行. ??? 1.4 数学方法 ??? 数列这一章蕴含着多种数学思想及方法,如函数思想、方程思想,而且在基本概念、公式的教学本身也包含着丰富的数学方法,掌握这些思想方法不仅可以增进对数列概念、公式的理解,而且运用数学思想方法解决问题的过程,往往能诱发知识的迁移,使学生产生举一反三、融会贯通的解决多数列问题.在这一章主要用到了以下几中数学方法: ??? (1)不完全归纳法? 不完全归纳法不但可以培养学生的数学直观,而且可以帮助学生有效的解决问题,在等差数列以及等比数列通项公式推导的过程就用到了不完全归纳法. ??? (2)倒叙相加法? 等差数列前n项和公式的推导过程中,就根据等差数列的特点,很好的应用了倒叙相加法,而且在这一章的很多问题都直接或间接地用到了这种方法. ??? (3)错位相减法? 错位相减法是另一类数列求和的方法,它主要应用于求和的项之间通过一定的变形可以相互转化,并且是多个数求和的问题.等比数列的前 n 项和公式的推导就用到了这种思想方法. ??? (4)函数的思想方法? 数列本身就是一个特殊的函数,而且是离散的函数,因此在解题过程中,尤其在遇到等差数列与等比数列这两类特殊的数列时,可以将它们看成一个函数,进而运用函数的性质和特点来解决问题. ??? (5)方程的思想方法? 数列这一章涉及了多个关于首项、末项、项数、公差、公比、第n项和前 n 项和这些量的数学公式,而公式本身就是一个等式,因此,在求这些数学量的过程中,可将它们看成相应的已知量和未知数,通过公式建立关于求未知量的方程,可以使解题变得清晰、明了,而且简化了解题过程. ???2 学生期望的数列的教学设计 ??? 教学设计的对象是学生,最终的着眼点是为了学生的发展,因此从学生的角度出发考虑教学设计变得尤其重要. ??? (1)对于等差数列的概念以及通项公式的教学设计,他们更希望教师能给自己更多的参与空间 ??? 比如对于等差数列概念的教学,他们更期望教师能先列举几个等差数列的例子,同学思考、讲解其特点,找出规律,从而总结出什么是等差数列.因为他们认为,高中生的他们已经初步具备了一定的数学思维,已经学会了用思考、分析、理解去解决问题这种求知的方式不仅能让他们体会知识的形成过程,能深刻的理解与记忆知识,而且能够提高他们分析问题、解决问题,以及战胜困难的能力. ??? (2)不同数学水平的学生,对等比数列教学设计的看法不同 ??? 对于学习中等偏上的学生,他们希望教师能够通过与等差数列相应知识来进行对比教学,这不但有助于他们深入的理解等差数列的性质特点,而且能够使他们深刻理解与掌握等比数列的知识;但对于成绩落后的学生来说,他们觉得这种对比教学设计法反而会让他们感觉更加迷惑,容易混淆知识点,因此他们更希望能采用类似等差数列相应知识的教学法进行设计. ??? (3)数学史知识的引入颇受学生欢迎 ??? 数学史知识的适当引入不但能活跃课堂气氛,调动大家学习的积极性,激发学生学习数学的兴趣,使枯燥的数学变得更加生动有趣,而且有助于他们更好的接纳新知识因此 89.5%的学生都希望能在课堂上听到教师讲述有关的数学史知识. ??? 2.3 教材编订者对数列教学设计的关注点 ??? 教材编订者是对教材理念、教材设计思想的最权威把握,而教师要进行教学设计首先要把握教材,要把握教材就要懂得教材的理念,因此教材编订者的意见就显得尤为重要. ??? (1)注重数学的基础知识教学 ??? 知识是数学学科的基础与灵魂所在,因此"总的要求是使学生在正确理解数列这一概念的基础上,掌握等差数列、等比数列的通项公式与求和公式,能够熟练地解决有关问题".那么在讲解等差数列的性质时,教师要将等差数列的六条性质全部向学生交待清楚,并要求他们牢固掌握. ??? (2)注重对学生的启发教育 ??? 任何事物的产生都是有一定缘由的,数学知识也不例外,因此在教学过程中,应该尽可能向学生再现知识的发生过程.比如说等差数列概念的教学,为了让学生明白什么是等差数列,为什么要将等差数列这样定义,教师就可以在教学过程中先列举几个等差数列的例子,让学生观察、比较,概括共同规律,再由学生尝试说出等差数列的定义.这样让学生参与的课堂将是生动的课堂,而且很恰当地帮学生建立了知识体系,并帮助他们进行知识的记忆. ??? (3)注重知识的应用 ??? 新教材中加入了等差与等比数列研究性学习这一部分内容,目的在于教会学生将知识学以致用,用理论指导实践,而且培养了他们的合作意识、研究精神,这也是新理念所倡导的. ??? 3.对数列教学设计的实践分析 ??? 实践是最好的问题发源地,何种类型的教学设计更容易让学生接受,更易知识的传授,对学生的发展有帮助,要通过实践才能得以验证,为此我在长春市第二实验中学旁观了"数列"这一章的教学过程,给了我很大的启发. ??? 3.1 不存在"万能"的教学设计 ??? 对数列这一章的教学设计,不存在完全以"教"为中心,或以"学"为中心的极端教学设计风格.两种风格的教学设计,并不是是我非你,是你则非我的完全对立关系,并不是一定要肯定一方,而否定另一方,采用哪种模式的教学设计,要针对不同的教学内容进行选择.比如等差数列前 n 项和公式的推导课,我认真听取了二实验两位新教师对这一节课不同的诠释方法,第一位教师是基于以教师的教为中心的风格,第二位教师是基于以学生的学为中心,二者收到的效果也大相径庭.第一位教师以讲解为主,又由于本身能力所限,不能对学生进行很好的启发、诱导,因此很难将同学们的思路引到正确的路线上来,以至于同学们表现得不够积极,而且公式的推导也因为同学们的无法配合而显得过于生硬、艰难;第二位教师则将公式推导与梯形面积公式的证明联系起来,创设了恰当的教学情境,使公式的推导显得简单而水道渠成,而且同学们表现得也非常积极,教学效果非常好.但是对于等比数列的概念的教学,两种风格的教学设计若经过教师认真的思考,斟酌,都会是一个好的教学设计. ??? 3.2 教学设计要关注学生的需要 ??? 教学设计最终是为学生服务的,而学生原有认知水平,认知结构,以及接受能力都会因人而异,对于水平相对弱一些的学生,如果把课堂教给他们,让他们自己去探索、发现知识可能会有一些困难,因此,这于这样的学生更适合传统的讲授式教学,这不但能让他们在尽可短的时间内掌握最基本的知识,而且通过强化,能帮助他们对知识的记忆.市二实验的学生接受能力不能算最优秀的,因此他们的老师在习题课教学过程中,往往将简单易处理的问题留给学生讨论,而有一定难度的题,则由教师进行讲解,做到了以从学生需要出了,收到了良好的教学效果. ??? 3.3 教学设计还要尊重教师的教学习惯 ??? 对于有教学经验的老教师,他们经过多年的摸索、尝试,反思,已经沉淀出自己对特定知识的固有想法,而且这是被实践证明了的有效的方法.比如对于等差数的概念教学,某位特级教师就采用了以教为中心的教学风格:根据前一节所学知识(数列的通项公式),为了恰当地复习和引入本节课,也就是从承上启下的角度,在上课开始给出这样的一个题目: ??? 已知数列{an}的通项公式是:an = 3n-2 ??? (1)求a1,a2,a3,a4; ??? (2)求a2-a1,a3-a2,a4-a3,并由这三个式的值,猜想对任意的正整数n,都有an+1-an 值是否为同一个常数?如果是给出证明;如果不是,说明理由. ??? 让学生从这个具体的题目中,初步体会到等差数列的本质特征,即"等差".在这个短小精悍的情境设置当中学生既巩固到了上节课所学的内容,更重要的是比较轻松地感悟到等差数列的本质. ??? 总之,进行数列的教学设计,不存在永恒的教学设计模式,选择哪种教学设计风格,以什么样的形式呈现给学生,既要考虑到教学内容的特点,又要考虑到学生的因素,当然还与教师的教学风格有关,要综合多种因素,因情况而定,但好的教学设计就是既达到知识的传授,又能对学生的能力发展有一定的促进作用. 高中数学(苏教版)教材中值得商榷的截距的定义 笔者在高中数学(苏教版)必修二,(2007年6月第三版,2009年10月第6次印刷)直线与方程的教学中,对课本上直线的截距的定义产生了疑惑,现将产生的疑惑和个人想法做一陈述,希望和大家交流. 一、课本内容再现: 直线在轴的截距: 必修二72页,直线.我们称为直线在轴上的截距,这个方程由直线的斜率和它在轴上的截距确定,所以这个方程也叫做直线的斜截式方程. 旁注:就是直线与轴交点的纵坐标. 初中我们学习的一次函数,它的图像是一条直线,其中常数是直线的斜率,常数就是直线在轴上的截距. 73页,例1 已知直线经过两点,,其中,求直线的方程.解得直线方程为. 74页,其中称为直线在轴上的截距,称为直线在轴上的截距,这个方程由直线在轴和轴上的非零截距所确定,所以这个方程也叫做直线的截距式方程. 旁注:当直线过原点时,在轴和轴上的截距都为. 二、个人理解: 1、直线在轴上截距的定义: 72页从两个角度明确定义了直线在轴上的截距,从方程的角度看,直线在轴上的截距,就是将方程化为时常数的值,这里对斜率没有要求,也就是只要斜率存在即可,那就必然包括了斜率为的情况,所以若直线,则直线在轴上的截距就为3,那么若直线为,根据定义,直线在轴上的截距就为.从图象的角度就是直线与轴交点的纵坐标. 还是上边的例子,若直线,则直线与的交点为那么直线在轴的距就为3,若直线为,根据定义,直线与的交点为那么直线在轴的距就为0. 根据以上的定义,我们可以将所有直线分为三类,第一类:与轴相交的直线,即(均可为0),型的直线在轴的截距为;第二类:与轴不相交的直线,即,根据定义它们在轴上没有截距;第三类:与轴重合的直线,即的直线,在这里没有提及.到底是不存在还是截距为0呢?课本上没有作说明,让老师和学生没办法把握,甚至在这里的教学中产生了不同的理解.也许这个问题可以不去深究,不会影响学生对大多数问题的理解,但是笔者认为作为课本,作为中学数学教学,必须给学生一个明确的答复,因为我们肩负着培养学生精益求精,勇于探究的科学价值的意识.不能在这里没有答案就终止了.如果在这里没有一个明确的答案,我们如何给学生一个合理而完美的答案,如何去培养学生精益求精的科学态度呢? 2、直线在轴上截距的定义: 对于直线在轴上截距的定义,在这里讲的并不是很清楚,对于在两坐标轴上截距均不为零的直线非常明确,就是直线分别于轴、轴交点的横坐标与纵坐标,那么对于直线只与轴相交,不与轴相交时如何定义呢?这里没有说明,比如直线在轴上截距为多少呢,如果我们按照直线在轴上截距类比,那么直线在轴上截距就为3,不知是否正确. 3、对直线在坐标轴上截距相等的理解: 对于74也旁白中的内容,"当直线经过原点时,直线在轴和轴上的截距都为",那也就是说对于直线与的直线它们在轴和轴上的截距都为,是否也包含了课本72也对直线在轴上的截距的定义中,直线的一个补充呢? 三、思考与建议 就像我们在立几中定义直线与平面的夹角时,对特殊情况应尽一说明.必修二34也:"如果一条直线与平面平行或在平面内,我们说它们所成的角是的角"那么对于直线的截距的定义也应该明确告知,特别对于特殊的直线为了不产生歧义,应做特殊说明. 建议:除课本上的说明外,附加以规定:若直线方程为,则称直线在轴上的截距为,且直线在轴上没有截距;若直线方程为,责成直线在轴上的截距为,且在轴上没有截距. 四、课本习题重现 课本77页习题2.1(1)第8题 设直线的方程为,根据下列条件分别确定的值: (1)直线的斜率为; (2)直线在轴、轴上截距之和等于. 参考答案(2)原方程可化为,由得 个人观点:在这里题目中附加了条件,保证了方程化为截距式方程是有意义,也就意味着直线在坐标轴上的截距均不为,所以顺利的解决了问题,那么试问,如果没有条件,或者说当时问题如何解决,此时方程可化为满足条件吗?如果有了上述给定以后,则当时直线的方程即为,在轴上的截距为0,在轴上没有截距,以上说述只是个人的一点粗浅的见解,不当之处请批评指正.