习五 矩阵的特征值与特征向量
一、选择题
1、 设A为n阶方阵，则下列结论中 '的是
（A） 若A可逆，则A的对应于的特征向量也是的对应于的特征向量
（B） 矩阵A的特征向量就是方程的全部 量
（C） A的特征向量的任一线性组合仍为A的特征向量
（D） A与具有相同的特征向量
2、设A为三阶矩阵，且E-A，2E-A，-3E-A均不可逆则下列结论中不 '的是
（A） 矩阵A可对角化
（B） 矩阵A是可逆矩阵
（C） A+E也可能不可逆
（D） |A|=-6
3、设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量a是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵（P-1AP）T属于特征值λ的特征向量是（ ）。
（A）P-1a； （B）PTa； （C）Pa； （D）（P-1）Ta；
4、设n阶方阵A相似于对角阵，则下列结论中正确的是
（A） 矩阵A是可逆矩阵
（B） 矩阵A是实对称矩阵
（C） A有n个不同的特征值
（D） A必有n个线性无关的特征向量
5、设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则有（ ）。
（A）λE-A=λE-B；
（B）A与B有相同的特征值和特征向量；
（C）A与B都相似于同一个对角矩阵；
（D）对任意常数t，tE-A与tE-B相似。
6、设矩阵，已知A～B，则秩（A-2E）与秩（A-E）之和等于（ ）。
（A）2； （B）3； （C）4； （D）5
二、填空题：
1、矩阵的非零特征值是___________。
2、设A为n阶矩阵，|A|≠0，A*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵，若A有特征值λ，则(A*)2+E必有特征值___________。
3、设A为n阶反对称矩阵，设是A的一个特征值，则除之外必有另一特征值为______________

4、 设四阶矩阵A满足，其中E为四阶单位矩阵，则伴随矩阵必有一个特征值为______________
5、已知三阶可逆方阵A的特征值是1，1，-5，则E+A-1的特征值是____________________。（其中E为三阶单位矩阵）
三、设矩阵，且|A|=-1，又A的伴随矩阵A*有一个特征值λ0，属于λ0的一个特征向量为，求和λ0的值。
四、设矩阵
，
已知有3个线性无关的特征向量，2是的二重特征值。试求可逆矩阵，使 为对角矩阵。
五、已知是矩阵的一个特征向量。
（1）试确定参数及特征向量所对应的特征值；
（2）问A能否相似于对角矩阵？并说明理由。
六、设矩阵A与B相似，且，
（1）求的值；
（2）求可逆矩阵P，使P-1AP=B
七、设矩阵，问k为何值时，存在可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵？并求出P和相应的对角矩阵。
八、设矩阵，已知A有3个线性无关的特征向量，λ=2是A的二重特征值，试求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角形矩阵。
九、若矩阵相似于对角矩阵∧，试确定常数的值，并求可逆矩阵P，使P-1AP=∧。
十、设三阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3；矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别是，。
（1）求A的属于特征值3的特征向量；
（2）求矩阵A
十一、设矩阵，，已知线性方程组有解但不唯一。
试求（1）的值；
（2）正交矩阵Q，使QTAQ为对角矩阵。
十二、设实对称矩阵，求可逆矩阵P，使P-1AP为对角形矩阵，并 行列式|A-E|的值。
*十三、某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将的熟练工支援其它生产部门，产生的缺额由新招收的非熟练工补齐。假设新、老非熟练工经过培训与实践，到年底考核时有的人成为熟练工。设第年一月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为和，
（1）求矩阵和的关系；
（2）当时，求。
《线性代数》练习五参考答案
一、1、（A） 2、（C） 3、（B） 4、（D） 5、（D） 6、（C）
二、1、 4； 2、 ； 3、； 4、； 5、2，2，
三、解：因。左乘A有， 即
所以

得
加（3）得a=c，代入（1）得，代入（2）得
又由于
将a=c，代入得
所以
四、解 因为是3阶方阵，有3个线性无关的特征向量，故可对角化。这就要求齐次方程组的基础 包含两个 量。
于是，只需使 秩。
因为
故解得 。
因 ，故的特征值为2（二重）和6。
对 ，解 得基础
；
对 ，解 得基础
。
令
则
五、（1）；（2）A不能相似对角化。
六、解：（1）因矩阵A与B相似，所以矩阵A与B有相同的特征值2（二重）和b

因此是的根， 得a=5、
所以
所以
因此
（2）
七、；；∧=
八、；；∧=
九、；；∧=
十、（1），（k为非零常数）；（2）
十一、（1）；
（2）
十二、
*十三、 （1）根据已知条件，
由此得
。
（2）令 ，则
下面求：
因为 ，故的特征值为
1和。
对，解 得基础
；
对，解 得基础
。
令
则
。
于是

由此得
。