2012年余姚中学自主招生模拟考试数学试卷1 本卷满分120分,时间90分钟 一、选择题(每小题4分,共40分) 1、设,则( ) A.24 B.25 C. D. 2、如图,ABC是边长为6cm的等边三角形,被一平行于BC的 矩形所截成三等分,则图中四边形EFGH的面积为( ) A. B. C. D. 3、将三粒均匀的分别标有1,2,3,4,5,6的正六面体骰子同时掷出,出现的数字分别为,则正好是直角三角形三边长的概率是( ) A.B.C.D. 4、5个连续整数(从小到大排列)前三个的平方和等于后两个的平方和,这样的整数组共有( ) A.0组B.1组C.2组D.无数组 5、在直角坐标系中,若一点的纵、横坐标都是整数,则称该点为整点.设k为整数,当直线与的交点为为整点时,k的值可以取( ) A.3个B.4个C.5个D.6个6、如果,那么( ) A.B.2 C.D. 7、如图,的角所对边分别为,点 的外心, 则( ) A.B. C. D. 8、已知等差数列的前项和为,且则的值是( ) A.8 B.11 C.12 D.15 9、我们将记作,如:;; 若设,则除以2012的余数是( ) A. 0 B. 1 C. 1006 D. 2011 10、一个围棋盘由18*18个边长为1的正方形小方格组成,一块边长为1.5的正方形卡片放在棋盘上,被这块卡片覆盖了一部分或全部的小方格共有n个,则n的最大值是( ) A.4 B.6 C.10 D.12 二、填空题(每小题4分,共32分) 11、在实数范围内分解因式= 12、已知,那么的值是_ 13、如图,G是边长为4的正方形ABCD边上一点,矩形DEFG的边EF经过点A,已知GD=5,则矩形DEFG的面积为_ 14、若一直角梯形的两对角线长分别为9和11,上、下两底长都是整数,则该梯形的高 为_ 15、如图,射线AO交⊙O于B、C两点,AB=1cm, BC=3cm, AD切⊙O于点D,延长DO交⊙O于点E,连结AE交⊙O 于点F,则线段DF的长=cm. 16、已知方程有且只有两个不同实数根, 则的取值范围是_ 17、如图,⊙O的直径AB与弦EF相交于点P,交角为45°, 若=8,则AB等于_ 18、在ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,设能完全 覆盖ABC的圆的半径为R,则R的最小值是_ 三、解答题 19、已知实数,满足不等式、、, 求证:. 20、如图,一次函数的图象过点P(2,3),交x轴的正半轴于点A,交y轴的正半轴于点B,求AOB面积的最小值. 21、如图,直线分别与x轴、y轴交于点A、B,⊙E经过原点O及A、B两点,C是⊙E上一点,连结BC交OA于点D,∠COD=∠CBO, (1)求点A、B、C的坐标; (2)求经过O、C、A三点的抛物线的解析式: (3)若延长BC到P,使DP=2,连结AP,试判断直线PA与⊙E的位置关系,说明理由. 22、已知是⊙的直径,弦于,是延长线上的一点,、与 ⊙分别交于、,与⊙交于. (1)求证:平分; (2)若⊙的半径为,,求线段的长. 23、已知,且.(1)是正数吗?为什么? (2)若抛物线在x轴上截得的线段长为,求抛物线的对称轴. 2012年余姚中学自主招生模拟考试数学 答案一、选择题(每小题4分,共40分) 题号 1 2 3 4 5 答案 A C C C B 题号 6 7 8 9 10 答案 C C C D D 二、填空题(每小题4分,共32分) 11、 12、 13、 14、15、16、或17、4 18、或三、解答题 19、(8分)已知实数,满足不等式、、, 求证:. 证明:∵|a|≥|b+c|,|b|≥|c+a|,|c|≥|a+b| ∴a2≥(b+c)2,b2≥(c+a)2,c2≥(a+b)2 ∴a2+b2+c2≥(b+c)2+(c+a)2+(a+b)2=2(a2+b2+c2)+2ab+2bc+2ca ∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤0 ∴(a+b+c)2≤0,而(a+b+c)2≥0 ∴a+b+c=0. 20、(8分)如图,一次函数的图象过点P(2,3),交x轴的正半轴与A,交y轴的正半轴与B,求AOB面积的最小值. 解:设一次函数解析式为,则, 得,令得,则OA=. 令得,则OA=. ∴三角形AOB面积的最小值为12. 21、(10分)如图,直线分别与x轴、y轴交于点A、B,⊙E经过原点O及A、B两点,C是⊙E上一点,连结BC交OA于点D,∠COD=∠CBO, (1)求点A、B、C的坐标; (2)求经过O、C、A三点的抛物线的解析式: (3)若延长BC到P,使DP=2,连结AP,试判断直线PA与⊙E的位置关系,并说明理由. 解:简解(1) ∵,∴A(3,0),B(0,), ∵∠COD=∠CBO,∴点C为OA弧中点,∴C() (2) (3) ∵BC=3,BD=2,DP=2,∴DP=4,则∴∽ ∴ 22、(10分)已知是⊙的直径,弦于,是延长线上的一点,、与⊙ 分别交于、,与⊙交于. (1)求证:平分; (2)若⊙的半径为,,求线段的长. 证明:(1)连结,则, 点、、、四点共圆, ∴ 即平分 (2)连结、,,, 在中得, 在,, ,由∽得, 平分, 23、(12分)已知,且.(1)是正数吗?为什么? (2)若抛物线在x轴上截得的线段长为,求抛物线的对称轴. 解:(1)是正数 (2)由题意可得 解得 或 ,且 , 当,即时, 舍去 当时,满足 综上所述 对称轴为直线
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2012年余姚中学自主招生模拟考试数学试卷1 本卷满分120分,时间90分钟 一、选择题(每小题4分,共40分) 1、设,则( ) A.24 B.25 C. D. 2、如图,ABC是边长为6cm的等边三角形,被一平行于BC的 矩形所截成三等分,则图中四边形EFGH的面积为( ) A. B. C. D. 3、将三粒均匀的分别标有1,2,3,4,5,6的正六面体骰子同时掷出,出现的数字分别为,则正好是直角三角形三边长的概率是( ) A.B.C.D. 4、5个连续整数(从小到大排列)前三个的平方和等于后两个的平方和,这样的整数组共有( ) A.0组B.1组C.2组D.无数组 5、在直角坐标系中,若一点的纵、横坐标都是整数,则称该点为整点.设k为整数,当直线与的交点为为整点时,k的值可以取( ) A.3个B.4个C.5个D.6个6、如果,那么( ) A.B.2 C.D. 7、如图,的角所对边分别为,点 的外心, 则( ) A.B. C. D. 8、已知等差数列的前项和为,且则的值是( ) A.8 B.11 C.12 D.15 9、我们将记作,如:;; 若设,则除以2012的余数是( ) A. 0 B. 1 C. 1006 D. 2011 10、一个围棋盘由18*18个边长为1的正方形小方格组成,一块边长为1.5的正方形卡片放在棋盘上,被这块卡片覆盖了一部分或全部的小方格共有n个,则n的最大值是( ) A.4 B.6 C.10 D.12 二、填空题(每小题4分,共32分) 11、在实数范围内分解因式= 12、已知,那么的值是_ 13、如图,G是边长为4的正方形ABCD边上一点,矩形DEFG的边EF经过点A,已知GD=5,则矩形DEFG的面积为_ 14、若一直角梯形的两对角线长分别为9和11,上、下两底长都是整数,则该梯形的高 为_ 15、如图,射线AO交⊙O于B、C两点,AB=1cm, BC=3cm, AD切⊙O于点D,延长DO交⊙O于点E,连结AE交⊙O 于点F,则线段DF的长=cm. 16、已知方程有且只有两个不同实数根, 则的取值范围是_ 17、如图,⊙O的直径AB与弦EF相交于点P,交角为45°, 若=8,则AB等于_ 18、在ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,设能完全 覆盖ABC的圆的半径为R,则R的最小值是_ 三、解答题 19、已知实数,满足不等式、、, 求证:. 20、如图,一次函数的图象过点P(2,3),交x轴的正半轴于点A,交y轴的正半轴于点B,求AOB面积的最小值. 21、如图,直线分别与x轴、y轴交于点A、B,⊙E经过原点O及A、B两点,C是⊙E上一点,连结BC交OA于点D,∠COD=∠CBO, (1)求点A、B、C的坐标; (2)求经过O、C、A三点的抛物线的解析式: (3)若延长BC到P,使DP=2,连结AP,试判断直线PA与⊙E的位置关系,说明理由. 22、已知是⊙的直径,弦于,是延长线上的一点,、与 ⊙分别交于、,与⊙交于. (1)求证:平分; (2)若⊙的半径为,,求线段的长. 23、已知,且.(1)是正数吗?为什么? (2)若抛物线在x轴上截得的线段长为,求抛物线的对称轴. 2012年余姚中学自主招生模拟考试数学 答案一、选择题(每小题4分,共40分) 题号 1 2 3 4 5 答案 A C C C B 题号 6 7 8 9 10 答案 C C C D D 二、填空题(每小题4分,共32分) 11、 12、 13、 14、15、16、或17、4 18、或三、解答题 19、(8分)已知实数,满足不等式、、, 求证:. 证明:∵|a|≥|b+c|,|b|≥|c+a|,|c|≥|a+b| ∴a2≥(b+c)2,b2≥(c+a)2,c2≥(a+b)2 ∴a2+b2+c2≥(b+c)2+(c+a)2+(a+b)2=2(a2+b2+c2)+2ab+2bc+2ca ∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤0 ∴(a+b+c)2≤0,而(a+b+c)2≥0 ∴a+b+c=0. 20、(8分)如图,一次函数的图象过点P(2,3),交x轴的正半轴与A,交y轴的正半轴与B,求AOB面积的最小值. 解:设一次函数解析式为,则, 得,令得,则OA=. 令得,则OA=. ∴三角形AOB面积的最小值为12. 21、(10分)如图,直线分别与x轴、y轴交于点A、B,⊙E经过原点O及A、B两点,C是⊙E上一点,连结BC交OA于点D,∠COD=∠CBO, (1)求点A、B、C的坐标; (2)求经过O、C、A三点的抛物线的解析式: (3)若延长BC到P,使DP=2,连结AP,试判断直线PA与⊙E的位置关系,并说明理由. 解:简解(1) ∵,∴A(3,0),B(0,), ∵∠COD=∠CBO,∴点C为OA弧中点,∴C() (2) (3) ∵BC=3,BD=2,DP=2,∴DP=4,则∴∽ ∴ 22、(10分)已知是⊙的直径,弦于,是延长线上的一点,、与⊙ 分别交于、,与⊙交于. (1)求证:平分; (2)若⊙的半径为,,求线段的长. 证明:(1)连结,则, 点、、、四点共圆, ∴ 即平分 (2)连结、,,, 在中得, 在,, ,由∽得, 平分, 23、(12分)已知,且.(1)是正数吗?为什么? (2)若抛物线在x轴上截得的线段长为,求抛物线的对称轴. 解:(1)是正数 (2)由题意可得 解得 或 ,且 , 当,即时, 舍去 当时,满足 综上所述 对称轴为直线