《等差数列前n项和公式》 一、教学目标 1、知识目标 (1)掌握等差数列前n项和公式,理解公式的推导方法; (2)能较熟练应用等差数列前n项和公式求和. 2、能力目标 经历公式的推导过程,体会数形结合的数学思想,体验从特殊到一般的研究方法,学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力. 3、情感目标 通过生动具体的现实问题,激发学生探究的兴趣和欲望,树立学生求真的勇气和自信心,增强学生学好数学心理体验,产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功. 二、教学重点、难点 1、等差数列前n项和公式是重点. 2、获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点. 三、教学过程 1、情境引入 师:上一节课中,我们学习了等差数列的定义及通项公式,知道了"公差d=,通项公式an=" 生:(回答问题) 师:那等差数列的前n项和怎样求?今天,我们主要探讨等差数列的前n项和公式.说起数列求和,我由地想起德国伟大的数学家高斯"神述求和"的故事.高斯在上小学四年级时,老师出了这样一道题"1+2+3、、、、、+99+100"(见课件)高斯稍微想了想就得出了答案.高斯到底用了什么巧妙的方法呢?下面给同学们一点时间来挑战高斯. 生:5050 师:看来我们班还是有不少高斯的.继续努力,说不定将来也成了数学家.下面请这位同学说一说是怎样算出来的. 生:(说明如何进行首尾配对进行求和的.) 师:根据等差数列的特点,首尾配对求和的确是一种巧妙的方法.不过,对于以下的题,"例:求等差数列8、5、2、、、、的前20项的和(见课件)"这种方法可就没那么方便了.因此我们非常迫切地需要推导出等差数列的前n项和公式. 2、新课讲解,探究等差数列前n项和公式一 师:下面我们从一个稍稍简单一点的等差数列来推导探讨等差数列的前n项和公式. (学生观察幻灯片上以等差数列逐层排列的一堆钢管.) 师:如何求? 生:利用刚才的方法.(略) 师:想一想,除了刚才的首尾配对求和的方法外,还有没有其他的方法呢? (课件演示:引导学生设想,如果将钢管倒置,能得到什么启示) 生:每一层都和上一层是一样多的.一共有8层,所以为8*(4+11),但一共有两堆,所以为 师:那如果如下图所示共有n层,第一层为a1,第n层为an,请大家来猜想一下这个呈等差数列排列的钢管的总和sn等于多少? 生: 师:这个猜想对不对呢?下面我们用所学过的知识一起来证明一下. 板书: 把上式的次序反过来又可以写成 两式相加: 所以 看来,我们的猜想是正确的.下面我们做几道练习来熟悉一下公式. 3、学生合作学习,运用公式一解题,并从练习中探索得到求和公式二. 学生练习一:1、在等差数列{an}中,已知a1=1,a10=8,求s10 2、求正整数列是前1000个数的和; 学生小组合作练习,分组进行交流. 师:看来,大家对公式的掌握还是不错的.下面,我们再来看一道练习. 学生练习二:在等差数列{an}中,已知a1=1,d=-2,求s10; 学生思考,并讨论解答. 学生讲解如何进行求解这题. 师:刚才那道题给出了a1,d和n=10,a10没有给出,但我们一样可以将s10求出, 那我们能不能直接由a1,d和n,得到an呢? 学生根据求和公式一和通项公式导出公式二: 学生练习三:求正整数中前500个偶数的和(用多种方法求解) 学生讨论解答此题,并请学生上台讲解. 4、小结 我们主要倒序相加的方法推导了等差数列前n项和公式一,并结合等差数列通项公式二推导出等差数列前n项和公式二,希望同学们在今后的解题要灵活运用这两个公式. 【教学反思】: "等差数列前n项和"的推导不只一种方法,本节课是通过介绍高斯的算法,探究这种方法如何推广到一般等差数列的求和.该方法反映了等差数列的本质,可以进一步促进学生对等差数列性质的理解,而且该推导过程体现了人类研究、解决问题的一般思路.本节课教学过程的难点在于如何获得推导公式的"倒序相加法"这一思路.为了突破这一难点,在教学中采用了以问题驱动的教学方法,设计的三个问题体现了分析、解决问题的一般思路,即从特殊问题的解决中提炼方法,再试图运用这一方法解决一般问题.在教学过程中,通过教师的层层引导、学生的合作学习与自主探究,尤其是借助图形的直观性,学生"倒序相加法"思路的获得就水到渠成了. 本节课主要采用观察法、归纳法等教学方法,同时采用设计变式题的教学手段进行教学,通过具体问题的引入,使学生体会数学源于生活,创设情境,重在启发引导,使学生由浅到深,由易到难分层次对本节课内容进行掌握.学生在学习的过程中体验从特殊到一般的研究方法,学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力.