重视数学解题反思_ 培养数学思维能力
________ 浙江省天台平桥中学_ 娄 军
【摘_ 要】华罗庚先生曾指出：学习者有两个过程，一个是“从薄到厚”，一个是“从厚到薄”。前者是量的积累，后者是“质”的飞跃。数学学习的过程是学生数学思维的建构过程，其特征是培养、提升学生的数学思维能力。教师在平时的教学过程中引导学生在解题后进行反思，有助于学生实践所学知识从“量”的积累向“质”的飞跃，对培养、学生的思维能力起到重要作用。
【关键词】数学解题；反思；思维能力
在平时的教学实际中，经常碰到学生谈起：上课时能听懂老师的课，对老师所讲例题也能领会、理解，但做起作业来，仍会时常解决不了。平时做过的习题过了一段时间，考试时再做类似的题仍然做不出来或要做错。究其原因，还在于学生在上课时的“听”及课后的“做”，往往只是就题论题，只注重进行大量的解题训练，凭借自己有限的解题经验，进行简单重复的解题实践，缺乏对“听”过或“做”过的习题作深入的探索和反思。
如果没有了反思，他们就错过了解题的一次重要而有效益的方面，回顾所完成的解答，通过重新考虑和重新检查这个结果和得出这一结果的路子，学生们可以巩固他们的知识和发展他们的解题能力[1]。《普通高中数学课程标准》把“反思”这一理念提到了应有的高度：“人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、……反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断” [2]，同时指出，“评价应关注学生能否不断反思自己的数学学习过程，并改进数学学习方法”。“教材的呈现应为引导学生自主探索留有比较充分的空间，有利于学生经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等过程”〔2〕。学生的解题反思其实是再学习、再创造的过程，思维能力的培养也正是在解题反思的过程得以充分的培养。
一、反思数学解题，培养数学思维的发散性
教师在讲解题目时，一般介绍该题型的通性通法，学生在解题时受思维定势的影响，往往也是先寻找最常规的解题思路。从而导致解题时有时思路狭窄、小题大做、解答过程繁杂等。在解题之后，教师可引导学生思考：这题是否还有另外的解法？更一般的解法？更特殊、简便的解法？沟通其他学科的解法？引导学生从另外的角度去观察、分析、研究，寻找不同的甚至是简捷、新颖的解题思路，使学生的思维触角伸向不同的方向，从而培养学生思维的发散性。
案例1：已知曲线的方程为，过点的直线（不与轴垂直）与曲线交于、两点，设点，与的夹角为，则的取值范围为 __ ___ _ _ __ ．
解法一：设直线的方程为，与的方程联立消去后得到：
设、，则
____
在上述的解答中，由于题目中的涉及了解析几何和向量的关系，
所以很自然的想到向量中的一个夹角公式：_ （其中表示两个向量、的夹角）。要求它们的夹角，只需要求出它的余弦值即可。按照这个思路我们利用韦达定理等数学工具计算出各个数值，最后代入得解。这个解答过程比较常规，但作为一道填空题，如上述解法有小题大做之嫌。
解法二：我们观察图1， 很明显恒成立，而要使夹角最大，只要当和和抛物线相切的时候就可以了， 而根据抛物线的对称性知道此时垂直轴，且有成立，结合题意，得结论。
比较而言，解法二要比解法一简单了很多，避免了一些烦琐的计算的同时，增加了解题的准确性。
通过解题后的反思，寻求一题多解，既理解通性通法，也探求出其他的解法甚至更简便的方法。在反思过程中学生不仅加深了对问题的理解, 而且使他们的思路更加开阔, 同时使学生明白在解题过程中, 要学会变化角度思考同一个问题, 从而起到优化思维的作用。
二、反思数学解题，培养数学思维的广度
有些习题本身虽然具有特殊性，但其间蕴藏着某种内在的规律。解题后，教师若能引导学生思考:这题有什么特点？改变题目的条件或者把条件作类似变换，会得出什么结论?保留题目的条件，结论能否进一步加强?结论能否由特殊题型扩大到一般性等，就可极大地诱发学生的求知欲，使之自觉地进入思维求索的空间，挖掘出习题的潜能，总结出更一般的规律，从而培养思维的广度。
案例2：在案例1的基础上，思考①：在抛物线中，过准线和对称轴的交点作抛物线的两条切线，问：两切点的连线是不是抛物线的通径，为什么？并求出此时切线的斜率。通过探究得结论1：在抛物线中，过准线和对称轴的交点作抛物线的两条切线，则切点的连线为抛物线的通径，且切线的斜率为（如图2）；思考②：这个命题对抛物线而言是成立的，那么对椭圆和双曲线是不是也有类似的性质呢？如果也有的话，那么它们的切线的斜率又是多少呢？引导学生类比结论1得到结论2：在椭圆中，过其中一条准线与长轴的交点作椭圆的两条切线，则切点的连线为椭圆上过相应焦点的通径，且切线的斜率为（如图3）；结论3：在双曲线中，过其中一条准线与实轴的交点作双曲线的两条切线，则切点的连线为双曲线上过相应焦点的通径，且切线的斜率为。最后由特殊到一般归纳得：在圆锥曲线中，过一准线和对称轴（抛物线）或长轴（椭圆）或实轴（双曲线）作曲线的两条切线，则切点的连线为曲线上过相应焦点的通径，且切线的斜率为（如图4）。