《 抽象代数基础 》教案
授课时间 第 9 次课
授课章节
1.5 正规子群与商群
任课教师
及职称
李刚副教授
教学方法
与手段
讲授法,板书
课时安排
5
使用教材和
主要参考书
《抽象代数基础》 唐忠明 编 高等教育出版社 2006,4
《近世代数》 杨子胥 编 高等教育出版社 2000,5
教学目的与要求:
明确分类与等价关系的定义及联系;陪集的定义;正规子群及商群定义及性质.
教学重点,难点:
分类与等价关系的联系;正规子群及商群定义及性质.
教学内容:
1.5 正规子群与商群
定义1 设A是一个非空集合,P是A的某些子集构成的集合,如果
P中所有元素的并等于A
若B,C属于P,且B不等于C,则必有
则称P是集合A的一个分类,称P的元素为类.
定义2 设A是一个非空集合,称到{1,0}的映射为集合A上的一个(二元)关系.
定义3 设为集合A上的一个(二元)关系,如果满足下列条件:
I)(自反律)对,都有;
II)(对称律)对,若,则;
III)(传递律),若且,则,
则称是A上的等价关系.
定理1 设A是一个非空集合,则A上任意一个等价关系决定了A的一个分类;反过来,A的任意一个分类也决定了A上的一个等价关系.
定义4 非空集合A上的一个等价关系决定了A的一个分类,称每个类为等价类;设P是A的一个分类,B是任意一个类,称B中的任意元素为B的代表元.
命题1 对,令则构成一个阶为n的循环群.
命题2 设是如上定义的等价关系,则对任意a属于G,[a]=Ha
定理2 设G是一个群,H是G的一个子群,则在H的全体右陪集构成的集合与它的全体左陪集构成的集合之间有一个一一对应.
定义5 设G是一个群,H是G的一个子群,若H的不同的右陪集的个数有限,则称这个数为H在G中的指数,记为[G:H];若H有无限多个不同的右陪集,则称H在G中的指数为无限,记为
[G:H]=
定义6 设G是一个群,H是G的一个子群,如果对任意的a属于G,都有Ha=aH,则称H是G的正规子群(或不变子群).
易见{e},G是G的正规子群,称之为G的平凡正规子群,只有平凡正规子群的群为单群.
命题3 设G是一个群,H是G的子群,则下列条件等价:
H是G的正规子群;
对,都有
对,,都有.
教学内容:
定义7和定理3 设G是一个群,N是G的正规子群,令,则关于G的子集的乘法构成一个群,称之为G关于N的商群.
设G是一个群,N是G的正规子群,
若H是G的子群且,则是的子群;
若L是的一个子群,则存在G的子群H使且
证明:I)显然是的非空子集,对由于H是G的子群,所以,因而,所以是的子群.
令 ,由于L中包含单位元eN,故对都有,所以.又对,由及L是子群知,因而,所以H是G的一个子群,而,即得.
《 抽象代数基础 》教案
复习思考题,作业题:
课本P22 3,4,7,8
下次课预习要点
群的同态与同构
实施情况及教学效果分析
学院审核意见

学院负责人签字
年 月 日