线性代数 课程教案
3.1消元法
授课时间
安排第7周第 2、3节 教学器材与工具 多媒体与黑板结合
授课类型(请打√) 理论课√ 讨论课 实验课 习题课 双语课程 其他
教学目的、要求
掌握消元法的基本过程,熟悉线性方程组解的讨论,了解方程组一般解的表示
教学重点及难点
重点是判断方程组有解、无解、无穷多解.难点是带未知参数的方程组解的讨论.
教学基本内容引例 用消元法求解下列线性方程组:
(详细过程见教材90页)通常把过程①-④称为消元过程,矩阵④就是行阶梯形矩阵,与之对应的方程组④则称为行阶梯方程组.
从上述解题过程可以看出,用消元法求解线性方程组的具体作法就是对方程组反复实施以下三种变换:
(1)交换某两个方程的位置;
(2)用一个非零数乘某一个方程的两边;
(3)将一个方程的倍数加到另一个方程上去.
以上这三种变换称为线性方程组的初等变换. 而消元法的目的就是利用方程组的初等变换将原方程组化为阶梯形方程组, 显然这个阶梯形方程组与原线性方程组同解, 解这个阶梯形方程组得原方程组的解. 如果用矩阵表示其系数及常数项, 则将原方程组化为行阶梯形方程组的过程就是将对应矩阵化为行阶梯形矩阵的过程.
将一个方程组化为行阶梯形方程组的步骤并不是唯一的, 所以,同一个方程组的行行阶梯形方程组也不是唯一的. 特别地,我们还可以将一个一般的行阶梯形方程组化为行最简形方程组, 从而使我们能直接"读"出该线性方程组的解.
(详细过程见教材91页)通常把过程⑤-⑧称为回代过程.
从引例我们可得到如下启示: 用消元法解三元线性方程组的过程, 相当于对该方程组的增广矩阵作初等行变换.
对一般线性方程组(1)是否有同样的结论? 答案是肯定的. 以下就一般线性方程组求解的问题进行讨论.
设有线性方程组
其矩阵形式为 (2)
其中
称矩阵(有时记为)为线性方程组(1)的增广矩阵.
当时, 线性方程组(1)称为齐次的; 否则称为非齐次的. 显然,齐次线性方程组的矩阵形式为
(3)
定理1 设元齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩
定理2 设元非齐次线性方程组有解的充要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵的秩, 即注:记,则上述定理的结果,可简要总结如下:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
而定理的证明实际上给出了求解线性方程组(1)的方法:
对非齐次线性方程组,将增广矩阵化为行阶梯形矩阵,便可直接判断其是否有解,若有解,化为行最简形矩阵,便可直接写出其全部解. 其中要注意,当时,的行阶梯形矩阵中含有个非零行,把这行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由量,其余个作为自由未知量.
对齐次线性方程组, 将其系数矩阵化为行最简形矩阵,便可直接写出其全部解.
例题选讲:
例1 判断下列方程组是否有解? 如有解, 是否有唯一的一组解?
例2 判断方程组是否有解?
例3 ( 讲义例1)求解齐次线性方程组
例4 ( 讲义例2) 解线性方程组

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