[高中数学课程扩展模块之十一 :]
拓 扑 趣 谈
张 远 南
在《奇异的莫比乌斯带》和《有趣的图论》等模块中,读者已经领略过一种只研究图形各部分位置的相对次序,而不考虑尺寸大小的新几何学的课题.莱布尼茨和欧拉称之为 "位置几何学".如今,这一新几何学已经发展成一门重要的数学分支——拓扑学.它就是本模块要讲述的主题.
一,橡皮膜上的几何学
1,拓扑学研究的范畴
拓扑学研究的课题极为有趣.比如:左手戴的手套能否在空间掉转位置后变成右手戴的手套 一个车胎能否从里面朝外头把它翻转过来 是否存在只有一个面的纸张 一只有耳的茶杯与救生圈或花瓶比较,与哪一个更相似些 诸如此类,都属于拓扑学研究的范畴.许多难以置信的事情,在拓扑学中似乎都有可能.下图是一幅超现实的图画,画的是一个人在地上走,并抬头仰望蓝天.不过这里已经用拓扑学变换的方法,把宇宙翻转了过来.图中的地球,太阳和星星,都被挤到了人体内一个狭窄的环形通道里,四周则是人体的内部器官.该图选自美国著名物理学家盖莫夫教授的著作《One, Two, Three, ……Infinity 》一书.
拓扑学是一门研究一对一连续变换的几何学,所以在拓扑学中,人们感兴趣的只是图形的位置,而不是它的大小.有人把拓扑学说成是橡皮膜上的几何学,这是十分恰当的.因为橡皮膜上的图形,随着橡皮膜的拉动,虽然它上面的点一对一地连续变换,但其长度,曲直,面积等等都将发生变化,此时谈论"有多长","有多大"之类的问题,是毫无意义的!
不过,在橡皮膜上的几何里,也有一些图形的性质保持不变.比如,点变化后仍然是点,线变化后依旧为线,相交的图形绝不会因橡皮的拉伸和弯曲而变得不相交!拓扑学正是研究使图形在橡皮膜上保持不变性质的几何学.
2,内部与外部
一条头尾相连且自身不相交的封闭曲线,把橡皮膜分成两个部分.如果我们把其中有限的部分称为闭曲线的"内部",那么另一部分便是闭曲线的"外部".从闭曲线的内部走到闭曲线的外部,不可能不通过该闭曲线.因此,无论你怎样拉扯橡皮膜,只要不切割,不撕裂,不折叠,不穿孔,那么闭曲线的内部和外部总是保持不变的.
"内部"和"外部",是拓朴学中很重要的一组概念.
在《奇异的莫比乌斯带》模块里,我们提到过一些有趣的问题,我想大家一定记得那个饶有趣味的"哈里发嫁女"问题,这个有趣的故事,将加深你对这两个概念的理解.
故事的大意是这样的:古波斯穆罕默德的继承人哈里发,有一个才貌双全的女儿.姑娘的智慧和美貌,远近闻名,求婚者络绎不绝.哈里发决定从中挑选一位才智超群的青年做女婿,于是便出了一道题目,声明谁能解出这道题,便将女儿嫁给谁!
哈里发的题目说来也简单:请用线把右图中写有相同数字的小圆圈连接起来,但所连的线不许相交.
在《奇异的莫比乌斯带》里,我们说过,在普通的平面上,这个问题不可能有解答的.下面我们用拓扑学的 "内部"与"外部"的概念加以证明.
事实上,如左下图,我们可以很容易用线把 ①一①,②一②连起来.明眼的读者可能已经发现:我们得到了一条简单的闭曲线,这条曲线把整个平面分为内部(阴影部分)和外部两个区域.其中一个③在内部区域,而另一个③却在外部区域.因此,要想从闭曲线内部的③,画一条弧线与外部的③相连,且与己画的闭曲线不相交,是不可能的!这正是哈里发的失误所在.

另一个"鸽棚,井,草堆"问题,说的是:有3座房子,一个鸽棚,一口井和一个草堆.要从每座房子各引3条路到鸽棚,井和草堆,使得这样的9条路相互之间都不相交.我想大家完全可以象上一个问题那样,运用内部和外部的概念,证明这样做是不可能的.
判定一个图形的内部和外部,并不总是一目了然的.有时一些图形像迷宫那样弯弯曲曲,令人眼花缭乱,这时应该怎样判定图形的内部和外部呢 19世纪中叶,法国数学家若尔当提出了一个精妙绝伦的办法:在图形外找一点,与需要判定的区域内的某个点连成线段,如果该线段与封闭曲线相交的次数为奇数,则所判定区域为"内部";否则为"外部".其间的奥妙,聪明的读者不难领会.

3,平面脉络的欧拉定理
在橡皮膜上的几何中,有一个极为重要的公式,这个公式以欧拉的名字命名,是欧拉于公元1750年证得的.公式说:对于一个平面脉络(连通的网络),脉络的顶点数V,弧线 E 和区域数 F,三者之间有如下关系:
V + F – E = 2

大家不妨用一些简单的图形,来验证这个关系式,以加深对它的认识.例如右图的脉络,容易算出V=8,F=8,E=14,而

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