《工程数学(本)》概率统计部分学习辅导
第2章:随机变量及其数字特征
一,学习目标
⒈理解随机变量的概率分布,概率密度的概念,了解分布函数的概念,掌握有关随机变量的概率计算.
常见的随机变量有离散型和连续型两种类型.离散型随机变量用概率分布来刻画,满足:
①
②
连续型随机变量用概率密度函数来刻画,满足:
①
②
随机变量的分布函数定义为

对于离散型随机变量有

对于连续型随机变量有

⒉了解期望,方差与标准差的概念,掌握求随机变量期望,方差的方法.
⑴期望:随机变量的期望记为,定义为
(离散型随机变量,是的概率分布)
(连续型随机变量,是的概率密度)
⑵方差:随机变量的方差记为,定义为
(离散型随机变量)
(连续型随机变量)
⑶随机变量函数的期望:随机变量是随机变量的函数,即,若存在,则在两种形式下分别表示为
(离散型随机变量,是的概率分布)
(连续型随机变量,是的概率密度)
由此可得方差的简单计算公式

⑷期望与方差的性质
①若为常数,则
②若为常数,则
③若为常数,则
⒊掌握几种常用离散型和连续型随机变量的分布以及它们的期望与方差.熟练掌握正态分布的概率计算,会查正态分布表(见附表).
常用分布:
⑴二项分布的概率分布为

特别地,当时,,叫做两点分布.
⑵均匀分布的密度函数为

⑶正态分布的密度函数为

其图形曲线有以下特点:
①,即曲线在x轴上方.
②,即曲线以直线为对称轴,并在处达到极大值.
③在处,曲线有两个拐点.
④当时,,即以轴为水平渐近线.
特别地,当时,,表示是服从标准正态分布的随机变量.
将一般正态分布转化为标准正态分布的线性变换:
若,令,则,且Y的密度函数为

服从标准正态分布的随机变量的概率为

那么一般正态分布的随机变量的概率可以通过下列公式再查表求出

常见分布的期望与方差:
二项分布:
均匀分布:
正态分布:
⒋了解随机变量独立性的概念,了解两个随机变量的期望与方差及其性质.
对于随机变量,若对任意有

则称与相互独立.
对随机变量,有

若相互独立,则有

二,典型例题解析
例1 设随机变量的密度函数,则 .
答案:
分析:
得出
例2 离散型随机变量的概率的分布为


则
答案:
分析:由,即,因此,.
例3离散型随机变量的概率的分布为
则下列各式成立的是( )
A B
C D
答案:A
分析 由于不是正概率点,因此.
例4已知随机变量服从二项分布,且,则二项分布的参数的值为( )
A B
C D
答案:B
分析 当是,有


解得.故选择B.
例5设随机变量具有概率密度
求.
解:由期望的定义得


由方差的计算公式有

例6设,试求⑴;⑵.
(已知)
解
⑴

⑵