国民中小学九年一贯课程纲要数学学习领域
(一)基本理念
数学的学习注重循序累进的逻辑结构,因此,过去国内外数学教材的演进,概遵循此逻辑结构,以保证数学教育的稳定性.再者,数学是较能进行国际性评比的学习领域,教学的成效亦有较客观的标准,因此,数学教育成效的评估应有其客观基础.
数学之所以被纳入国民教育的基础课程,有三个重要的原因:
1.数学是人类最重要的资产之一
数学被公认为科学,技术及思想发展的基石,文明演进的指标与推手.数学结构之精美,不但体现在科学理论的内在结构中及各文明之建筑,工技与艺术作品上,自身亦呈现一种独特的美感.
2.数学是一种语言
简单的数学语言,融合在人类生活世界的诸多面向,宛如另一种母语.精鍊的数学语句,则是人类理性对话最精确的语言.从科学的发展史来看,数学更是理性与自然界对话时最自然的语言.
3.数学是人类天赋本能的延伸
人类出生之后,即具备尝试错误,寻求策略,解决问题的生存本能,并具备形与数的初等直觉.经过文明累积的陶冶与教育,使这些本能得以具体延伸为数学知识,并形成更有力量的思维能力.
九年一贯课程强调以学习者为主体,以知识的完整面为教育的主轴,以终身学习为教育的目标.在进入21世纪且处於高度文明化的世界中,数学知识及数学能力,已逐渐成为日常生活及职场里应具备的基本能力.基於以上的认知,国民教育数学课程的目标,须能反映下列理念:(1)数学能力是国民素质的一个重要指标;(2)培养学生正向的数学态度,了解数学是推进人类文明的要素;(3)数学教学(含教材,课本及教学法)应配合学童不同阶段的需求,协助学童数学智能的发展;(4)数学作为基础科学的工具性特质.
基於上述理念,国民教育阶段协助学童数学智能的发展,最为需要长期及多面向的关照,兹阐述如下:
1.素质指标:要把每一位学生都带上来,是九年一贯及国家教育政策既有的理念.在数学教育里,强调每个学生都有权利要求受到良好的数学训练,并充分认识重要的数学概念及提升厚实数学能力.教育应提供学生做有意义及有效率学习的机会,使学生能学好重要的核心数学题材,因为这些重要的数学概念和精熟的演算能力,是九年一贯所强调「带著走」的能力.
2.能力发展:学生能力的发展始於流利的基础运算和推演,对数学概念的理解,然后懂得利用推论去解决数学问题,包括理解和解决日常问题,以及在不熟悉解答方式时,懂得自寻解决问题的途径.抽象化能力始於能运用符号,记号,模型,图形或其他数学语言,清楚传达量化,逻辑关系.发展逻辑思考,用来分析证据,提出支持或否定假设的论点.启发学生自行在不同数学概念之间做连结,并连结数学与其他学习领域.学生要能将数学运用在日常生活中,学习欣赏数学,从而发展探究数学以及与数学相关学科的兴趣.
3.能力主轴:除了数学知识外,演算能力,抽象能力及推论能力的培养是整个数学教育的主轴.这三者是连贯而非独立分开的,也是培养学生数学能力的三个具体面向.所谓「数学能力」,是指对数学掌握的综合性能力以及对数学有整体性的感觉.在学习数学时,一般重视的是观念和演算,但学生的数学经验(或数学感觉)的培养却是同等重要.要确保学生能学好新数学题材的要素之一,旨在如何引导并利用学生的前置经验(或感觉),这种数学的经验(或感觉)就是数学的直觉或直观.学生数学能力的深化,奠基在揉合旧有的直观和新的观念或题材,进而扩展成一种新的直观.在认知能力上,直观是思维流畅的具体展现;在能力培养上,直观让学生能从根本上,摆脱数学形式规则的束缚,丰富学童在抽象层次上的想像力与观察能力,这二者是儿童数学智能发展中的重要指标.
4.演算能力:传统数学教学上,常把观念与演算截然二分.然数学运算或计算并不只是机械式计算操作而已.所谓能熟练数学的运算或计算,系指在能够理解数学概念或演算规则的情况下,所进行的纯熟操作.这种透过理解并能将观念与计算结合的能力,才是演算能力.某类型数学问题演算的纯熟,常能同时促使新旧数学观念的连结与落实.演算亦是学童获得新数学经验的方法,新的经验将会再形成学生下一阶段新主题学习所需的具体经验.以传统的直式乘,除法为例,透过这种演算法,学童能充分运用加减法以及个位数乘法的能力;更重要的是能养成简单心算的能力,进而勇於累积计算多位数的经验.这种能力能让学童对数字的内在逻辑有较流畅的感觉,而这种流畅感觉的回馈,则更能增强学童的自信心.相反的,没有效率,容易造成错误的演算法,却会加深学习的沮丧感,使学童逐渐放弃学习.
5.数学沟通能力:沟通包括理解与表达两种能力,所以,数学沟通一方面要能了解别人以书写,图形,或口语中所传递的数学资讯;另一方面,也要能以书写,图形,或口语的形式,运用精确的数学语言表达自己的意思.
6.教材教法:数学课程的规划,教科书呈现的方式及教学法均同等重要.能力指标,课程规划与课本编排均要有合理性.课程,教学,教科书(包括教科书的文字)都是学生学习环境的一环,合理审慎地处理这些环节,将能让学生专注於学习,减少学生失误的挫折,提升学生的学习兴趣.这三者的视野,都必须涵盖整体教育过程.例如:在了解或归纳某些问题时,情境虽然有别,但其解题方式却可能相似.要培养这种抽象能力,必须要有比较长期性的规划.在传统上,应用问题及其解题的教学,是小学生培养这种抽象能力的好方法.虽然,这些应用问题在进入国中后,都可运用代数方法来解答,但小学应用问题的教学,是利用儿童的生活经验,直观和(在培养中的)抽象思考方法揉合在一起的活动.这是儿童在国中学习抽象的代数以及其他学科(例如:理化)时,绝佳的前置经验,如同在能力主轴里所强调的,这种直观的培养,将是学童在国中学习好坏的基础.因此,我们应该在小学教育中,放入适当的应用解题的题材.同样地,培养抽象能力基础的生活化情境,必须随年级的增加与学生抽象能力的提高,做合理的调整,避免让生活情境过分干扰数学的学习.
7.教师关怀:数学能力的养成是一个很复杂的过程,而且经常因人而异,因此任何单一的教本以及单一的教学法,都无法独断地兼顾各人的学习,甚至个人各时期的发展.除专业素养外,教师对学童的爱与关怀,是在数学学习过程中,帮助儿童渡过难关最重要的助力.当学习新的数学概念,新的演算规则,甚至旧题材的新表示方式时,学童都须藉由旧有的数学经验来统合成新的直觉或逻辑经验,而数学精确语言的抽象本质,常会加深学童学习的困难.这时,唯有依靠教师敏锐的观察与分析,贴心地协助学生,结合其旧有的经验往前到新的经验,这正是因材施教的要点.老师的关怀,能让学生对新的问题抱持著好奇心及拥有努力寻求问题的解答之意志力.学生具备这样的学习态度,绝对是正面的.近年来许多老师努力采取和学童双向沟通的教学方式,这是国内教学法非常积极且正面的发展.
8.对家长的建议:对於想辅导学童学习数学的家长,须以「学习数学应该是一种快乐的经验」作为座右铭.在做家庭功课时,让学童在专心一致的情境下学习数学,才能培养他们对数学的正面情绪与感觉.若心绪不集中,就容易造成计算失误,导致过多的挫折感;而负面情绪的累积,则容易使学生放弃数学.当小孩的学习遭遇瓶颈或成绩低落时,家长不宜过度焦虑,在督导小孩学习时,家长仍应尽量避免负面的情绪,不宜无理的强迫小孩做更多的学习.如果家长能用鼓励的态度,深入了解小孩的学习困难,以小孩本身可理解的经验做基础,循序渐进的引导小孩走出困境(而不是死板的教导),将比较有正面的效益.
9.数学史的重要性:在教师教学里,引进与主题相关的数学史题材,对学童的学习会有很正面的意义,尤其能协助学童将抽象观念具体化.因为不论在科技应用层面或思想突破方面,数学重要概念的演进确有其实用面的考量,因此提供具启发性的数学史方面的读物实属必要.
以上所述都是在局部层次上如何协助学童落实数学能力.然而,整个大环境的经营,例如:学校行政的支持,教学环境的改善等,亦不能忽略,这些是数学教学的品质能否提升的重要关键.为了协助学童,教师与家长必须建造一个开放且丰富的数学资讯网路,包括大量的题库,进阶数学读物,教师专业期刊,数学教学资源平台,教学研究资料的透明化等.藉由各种资讯网路,让教师能拥有丰富的参考资料,并与其他教师分享教学经验;家长能有足够的资讯来辅助子女学习,而且学童能据以自学.如能建立丰富且多元发展方向的流通资讯,对教学品质的促进将有明显的效应.
(二)课程目标
基於前节所述的基本理念,课程目标的规划不仅应反映数学学习的特性,亦应考量环境条件的限制.首先是教学时数的限制.目前国民中小学数学学习领域教学的时数每周3-4节,仅足够用来做课本教学.然而,数学学习领域新题材的学习(包括操作观察,概念学习,新演算方法或应用问题解题等),往往需要较宽裕的时间来融会贯通并做练习,故教师应找其他恰当的时间指导学生做习作.
在既有限制之下,九年一贯数学学习领域的课程纲要,是由下列四个原则来界定:
1.参考施行有年且有稳定基础的传统教材.
2.采用国际间数学课程必备的核心题材.
3.考虑数学作为科学工具性的特质.
4.现有学生能够有效学习数学的一般能力.
具体而言,九年一贯数学学习领域的教学目标为:
1.第一阶段(国小一至二年级):能初步掌握数,量,形的概念,其重点在自然数及其运算,长度与简单图形之认识.
2.第二阶段(国小三至四年级):在数方面要能熟练自然数的四则与混合计算,培养流畅的数字感;另外,应初步学习分数与小数的概念.在量上则以长度的学习为基础,学习各种量的常用单位及其计算.几何上则慢慢发展以角,边要素认识几何图形的能力,并能以操作认识几何图形的性质.
3.第三阶段(国小五至六年级):在小学毕业前,应能熟练小数与分数的四则计算;能利用常用数量关系,解决日常生活的问题;能认识简单平面与立体形体的几何性质,并理解其面积或体积之计算;能制作简单的统计图形.
4.第四阶段(国中一至三年级):在数方面,能认识负数与根号数之概念与计算方式,并理解坐标表示的意义.代数方面则要熟练代数式的运算,解方程式,并熟悉常用的函数关系.几何方面要学习三角形及圆的基本几何性质,认识线对称与图形缩放的概念,并能学习简单的几何推理.能理解统计与机率的意义,并认识各种简易统计方法.
我们希望课程目标的达成,可以培养学生的演算能力,抽象能力,推论能力及沟通能力;学习应用问题的解题方法;奠定高中阶段的数学基础,并希望能培养学生欣赏数学的态度及能力.
(三)能力指标
本纲要能力指标系参酌施行有年且有稳定基础的传统教材,国际间数学课程必备的核心题材,数学作为科学工具性的特质,现有学生能够有效学习数学的一般能力等原则进行修订.
数学学习领域将九年国民教育区分为四个阶段:第一阶段为国小一至二年级,第二阶段为国小三至四年级,第三阶段为国小五至六年级,第四阶段为国中一至三年级.另将数学内容分为「数与量」,「几何」,「代数」,「统计与机率」,「连结」等五大主题.
前四项主题的能力指标以三码编排,其中第一码表示主题,分别以字母N,S,A,D表示「数与量」,「几何」,「代数」和「统计与机率」四个主题;第二码表示阶段,分别以1,2,3,4表示第一,二,三,四阶段;第三码则是能力指标的流水号,表示该细项下指标的序号.指标虽以主题与阶段来区分,仍有若干能力指标采跨主题方式同时编列,如「数与量」,「几何」,以强调其连结,此类指标皆以相关连结编码注记.第五个主题「连结」亦以三码编排,第一码以字母C表示主题,第二码分别以字母R,T,S,C,E表示察觉,转化,解题,沟通,评析;第三码流水号,表示该细项下指标的序号.
在编撰教材时,须注意数学内部连结的贯串,以强调解题能力的培养;数学外部的连结除了强调生活应用解题外,也要能适当结合其他学科教材的发展,让学生能认识到数学与其他学科的关系.如果能在教材中适切呈现如何观察问题,分析问题,提出解题的策略或方向;或者如何藉由分类,归纳,演绎,类比来获得新知的过程,将对学生的智能发展,数学能力有莫大的帮助.一套好的数学课程或教科书,应能完整呈现数学思考的全貌,也因此教师,教科书编者,审查单位皆应顾及连结四项指标确实完成.
以下先就五大主题条列数学学习领域之能力指标,再依阶段与年级条列能力指标及其细目.
1.五大主题能力指标
数与量
N-1-01
能说,读,听,写1000以内的数,比较其大小,并做位值单位的换算.
N-1-02
能理解加法,减法的意义,解决生活中的问题.
N-1-03
能理解加,减直式计算.
N-1-04
能理解乘法的意义,解决生活中简单整数倍的问题.
N-1-05
能在具体情境中,进行分装与平分的活动.
N-1-06
能理解九九乘法.
N-1-07
能在具体情境中,解决加,减,乘之两步骤问题(不含连乘).
N-1-08
能做长度的实测,认识「公分」,「公尺」,并能做长度之比较与计算.
N-1-09
能做长度的简单估测.
N-1-10
能认识容量,重量,面积(不含常用单位).
N-1-11
能报读时刻,并认识时间常用单位.
N-2-01
能说,读,听,写10000以内的数,比较其大小,并做位值单位的换算.
N-2-02
能透过位值概念,延伸整数的认识到大数(含亿,兆).
N-2-03
能熟练整数加,减的直式计算.
N-2-04
能理解除法的意义,解决生活中的问题,并理解整除,商与余数的概念.
N-2-05
能理解乘,除直式计算.
N-2-06
能在具体情境中,解决两步骤问题(含除法步骤).
N-2-07
能做整数四则混合运算,理解并式,并解决生活中的问题.
N-2-08
能在具体情境中,对大数在指定位数取概数(含四舍五入法),并做加,减之估算.
N-2-09
能在具体情境中,初步认识分数.
N-2-10
能认识真分数,假分数与带分数,做同分母分数的比较,加减与整数倍计算,并解决生活中的问题.
N-2-11
能理解分数之「整数相除」的意涵.
N-2-12
能认识等值分数,并做简单的应用.
N-2-13
能认识一位与二位小数,并做比较,直式加减及整数倍的计算.
N-2-14
能由长度测量的经验,透过刻度尺的方式来认识数线,并标记整数.
N-2-15
能在数线上做整数与小数之比较与加,减的操作.
N-2-16
能在数线上标记小数,并透过等值分数,标记简单的分数.
N-2-17
能做长度的实测,认识长度常用单位,并能做长度之比较与计算.
N-2-18
能做容量的实测,认识容量常用单位,并能做容量之比较与计算.
N-2-19
能做重量的实测,认识重量常用单位,并能做重量之比较与计算.
N-2-20
能使用量角器进行角度之实测,认识度的单位,并能做角度之比较与计算.
N-2-21
能认识面积常用单位,并能做面积之比较与计算.
N-2-22
能理解正方形和长方形的面积与周长公式.(S-2-08)
N-2-23
能认识体积,并认识体积单位「立方公分」.
N-2-24
能做时或分同单位的加减计算.
N-2-25
能用复名数的方法处理量相关的计算问题(不含除法).
N-2-26
能做量的简单估测.
N-3-01
能熟练整数乘,除的直式计算.
N-3-02
能熟练整数四则混合运算,并解决生活中的三步骤问题.
N-3-03
能理解因数,倍数,公因数与公倍数.
N-3-04
能认识质数,合数,并能用短除法做质因数分解.
N-3-05
能认识最大公因数,最小公倍数与两数互质的意义,并用来将分数化成最简分数.
N-3-06
能理解等值分数,约分,扩分的意义.
N-3-07
能理解通分的意义,并用来解决异分母分数的比较与加减问题.
N-3-08
能认识多位小数,并做比较,直式加减及整数倍的计算.
N-3-09
能理解分数(含小数)乘法的意义及计算方法,并解决生活中的问题.
N-3-10
能理解分数(含小数)除法的意义及计算方法,并解决生活中的问题.
N-3-11
能用直式处理小数的乘除计算(不含循环小数).
N-3-12
能在具体情境中,对某数在指定位数取概数(含四舍五入法),并做加,减,乘,除之估算.
N-3-13
能做分数与小数的互换,并标记在数线上.
N-3-14
能认识比率及其在生活中的应用.
N-3-15
能认识比,比值与正比的意义,并解决生活中的问题.
N-3-16
能认识导出单位并做简单的应用.
N-3-17
能理解速度的概念与应用,认识速度的常用单位及换算,并处理相关的计算问题.
N-3-18
能由生活中常用的数量关系,运用於理解问题,并解决问题.(A-3-02)
N-3-19
能认识量的常用单位及其换算,并用复名数处理相关的计算问题.
N-3-20
能理解正方体和长方体的体积公式.(S-3-05)
N-3-21
能理解容量,容积和体积间的关系.
N-3-22
能运用切割重组,理解三角形,平行四边形与梯形的面积公式.(S-3-06)
N-3-23
能理解圆面积与圆周长的公式,并计算简单扇形面积.(S-3-07)
N-3-24
能理解简单直立柱体的体积为底面积与高的乘积.(S-3-10)
N-3-25
能计算正方体或长方体的表面积.(S-3-11)
N-4-01
能理解质数,质因数分解,最大公因数,最小公倍数,互质的意义.
N-4-02
能熟练求质因数分解,最大公因数,最小公倍数的短除法,并解决生活中的问题.
N-4-03
能理解比例关系,连比,正比,反比的意义,并解决生活中的问题.
N-4-04
能熟练比例式的基本运算.
N-4-05
能认识负数,相反数,绝对值的意义.
N-4-06
能做正负数的比较与加,减,乘,除计算.
N-4-07
能将负数标记在数线上,理解正负数的比较与加,减运算在数线上的对应意义,并能计算数线上两点的距离.
N-4-08
能熟练正负数的四则混合运算.
N-4-09
能认识指数的记号与指数律.
N-4-10
能认识科学记号.
N-4-11
能认识二次方根及其近似值.
N-4-12
能理解根式的四则运算.
N-4-13
能辨识数列的规则性.
N-4-14
能熟练等差数列与等差级数的样式,记法与公式,并解决相关问题.
几何
S-1-01
能由物体的外观,辨认,描述与分类简单几何形体.
S-1-02
能描绘或仿制简单几何形体.
S-1-03
能认识周遭物体中的角,直线和平面.
S-1-04
能认识生活周遭中平行与垂直的现象.
S-2-01
能认识平面图形的内部,外部及其周界与周长.
S-2-02
能透过操作,将简单图形切割重组成另一已知简单图形.
S-2-03
能理解垂直与平行的意义.
S-2-04
能透过平面图形的组成要素,认识基本平面图形.
S-2-05
能透过操作,认识简单平面图形的性质.
S-2-06
能认识平面图形全等的意义.
S-2-07
能理解旋转角的意义.
S-2-08
能理解正方形和长方形的面积与周长公式.(N-2-22)
S-3-01
能利用几何形体的性质解决简单的几何问题.
S-3-02
能透过操作,认识「三角形三内角和为180度」与「两边和大於第三边」的性质.
S-3-03
能理解平面图形的线对称关系.
S-3-04
能认识平面图形放大,缩小对长度,角度与面积的影响,并认识比例尺.
S-3-05
能理解正方体和长方体的体积公式.(N-3-20)
S-3-06
能运用切割重组,理解三角形,平行四边形与梯形的面积公式.(N-3-22)
S-3-07
能理解圆面积与圆周长的公式,并计算简单扇形面积.(N-3-23)
S-3-08
能认识面的平行与垂直,线与面的垂直.
S-3-09
能认识球,直圆柱,直圆锥,直角柱与正角锥.
S-3-10
能理解简单直立柱体的体积为底面积与高的乘积.(N-3-24)
S-3-11
能计算正方体或长方体的表面积.(N-3-25)
S-4-01
能理解常用几何形体之定义与性质.
S-4-02
能指出满足给定几何性质的形体.
S-4-03
能透过形体之刻画性质,判断不同形体之包含关系.
S-4-04
能利用形体的性质解决几何问题.
S-4-05
能理解毕氏定理及其逆叙述,并用来解题.
S-4-06
能理解外角和定理与三角形,多边形内角和定理的关系.
S-4-07
能理解平面上两平行直线的各种几何性质.
S-4-08
能理解线对称图形的几何性质,并应用於解题和推理.
S-4-09
能理解三角形的全等定理,并应用於解题和推理.
S-4-10
能根据直尺,圆规操作过程的叙述,完成尺规作图.
S-4-11
能理解一般三角形的几何性质.
S-4-12
能理解特殊三角形(如正三角形,等腰三角形,直角三角形)的几何性质.
S-4-13
能理解特殊四边形(如正方形,矩形,平行四边形,菱形,梯形)与正多边形的几何性质.
S-4-14
能理解图形缩放前后不变的几何性质.
S-4-15
能理解三角形和多边形的相似性质,并应用於解题和推理.
S-4-16
能理解三角形内心,外心,重心的意义与性质.
S-4-17
能理解圆的几何性质.
S-4-18
能用反例说明一叙述错误的原因,并能辨识一叙述及其逆叙述间的不同.(A-4-19)
S-4-19
能针对问题,利用几何或代数性质做简单证明.(A-4-20)
代数
A-1-01
能在具体情境中,认识等号两边数量一样多的意义与的递移律.
A-1-02
能在具体情境中,认识加法的交换律,结合律,乘法的交换律,并运用於简化计算.
A-1-03
能理解加减互逆,并运用於验算与解题.
A-2-01
能理解乘除互逆,并运用於验算与解题.
A-2-02
能在具体情境中,理解乘法结合律,并运用於简化计算.
A-2-03
能在四则混合计算中,运用数的运算性质.
A-3-01
能在具体情境中,理解乘法对加法的分配律与其他乘除混合计算之性质,并运用於简化计算.
A-3-02
能由生活中常用的数量关系,运用於理解问题,并解决问题.(N-3-18)
A-3-03
能认识等量公理.
A-3-04
能用含未知数符号的算式表徵具体情境之单步骤问题,并解释算式与情境的关系.
A-3-05
能解决用未知数列式之单步骤问题.
A-3-06
能用符号表示简单的常用公式.
A-4-01
能用符号代表数,表示常用公式,运算规则以及常见的数量关系(例如:比例关系,函数关系).
A-4-02
能理解数的四则运算律,并知道加与减,乘与除是同一种运算.
A-4-03
能用x,y,…符号表徵问题情境中的未知量及变量,并将问题中的数量关系,写成恰当的算式(等式或不等式).
A-4-04
能理解生活中常用的数量关系(例如:比例关系,函数关系),恰当运用於理解题意,并将问题列成算式.
A-4-05
能理解等量公理的意义,并做应用.
A-4-06
能理解解题的一般过程,知道解出方程式或不等式后,还要验算其解的合理性.
A-4-07
能熟练一元一次方程式的解法,并用来解题.
A-4-08
能理解一元一次不等式解的意义,并用来解题.
A-4-09
能理解二元一次方程式的意义.
A-4-10
能理解直角坐标系,并能计算坐标平面上两点间的距离.
A-4-11
能在坐标平面上,画出一次函数或二元一次方程式的图形.
A-4-12
能熟练二元一次联立方程式的解法,并用来解题.
A-4-13
能熟练乘法公式.
A-4-14
能认识多项式,并熟练其四则运算.
A-4-15
能理解毕氏(勾股)定理,并做应用.
A-4-16
能用因式分解或配方法,解出二次方程式,并用来解题.
A-4-17
能利用配方法,计算二次函数的最大值或最小值.
A-4-18
能理解二次函数图形的线对称性,求出其线对称轴以及最高点或最低点,并应用来画出坐标平面上二次函数的图形.
A-4-19
能用反例说明一叙述错误的原因.能辨识一个叙述及其逆叙述间的不同.(S-4-18)
A-4-20
能针对问题,利用几何或代数性质做简单证明.(S-4-19)
统计与机率
D-1-01
能将资料做分类与整理,并说明其理由.
D-2-01
能报读生活中常见的表格.
D-2-02
能认识并报读生活中的长条图,折线图.
D-3-01
能整理生活中的资料,并制成长条图,折线图或圆形图.
D-4-01
能利用统计量,例如:平均数,中位数及众数等,来认识资料集中的位置.
D-4-02
能利用统计量,例如:全距,四分位距等,来认识资料分散的情形.
D-4-03
能以中位数,四分位数,百分位数,来认识资料在群体中的相对位置.
D-4-04
能在具体情境中认识机率的概念.
连结
◎察觉
C-R-01
能察觉生活中与数学相关的情境.
C-R-02
能察觉数学与其他领域之间有所连结.
C-R-03
能知道数学可以应用到自然科学或社会科学中.
C-R-04
能知道数学在促进人类文化发展上的具体例子.
◎转化
C-T-01
能把情境中与问题相关的数,量,形析出.
C-T-02
能把情境中数,量,形之关系以数学语言表出.
C-T-03
能把情境中与数学相关的资料资讯化.
C-T-04
能把待解的问题转化成数学的问题.
◎解题
C-S-01
能分解复杂的问题为一系列的子题.
C-S-02
能选择使用合适的数学表徵.
C-S-03
能了解如何利用观察,分类,归纳,演绎,类比等方式来解决问题.
C-S-04
能多层面的理解,数学可以用来解决日常生活所遇到的问题.
C-S-05
能了解一数学问题可有不同的解法,并尝试不同的解法.
◎沟通
C-C-01
能理解数学语言(符号,用语,图表,非形式化演绎等)的内涵.
C-C-02
能理解数学语言与一般语言的异同.
C-C-03
能用一般语言与数学语言说明情境与问题.
C-C-04
能用数学的观点推测及说明解答的属性.
C-C-05
能用数学语言呈现解题的过程.
C-C-06
能用一般语言及数学语言说明解题的过程.
C-C-07
能用回应情境,设想特例,估计或不同角度等方式说明或反驳解答的合理性.
C-C-08
能尊重他人解决数学问题的多元想法.
◎评析
C-E-01
能用解题的结果阐释原来的情境问题.
C-E-02
能由解题的结果重新审视情境,提出新的观点或问题.
C-E-03
能经阐释及审视情境,重新评估原来的转化是否得宜,并做必要的调整.
C-E-04
能评析解法的优缺点.
2.阶段能力指标
(1)第一阶段能力指标(国小一至二年级)
数与量
N-1-01
能说,读,听,写1000以内的数,比较其大小,并做位值单位的换算.
N-1-02
能理解加法,减法的意义,解决生活中的问题.
N-1-03
能理解加,减直式计算.
N-1-04
能理解乘法的意义,解决生活中简单整数倍的问题.
N-1-05
能在具体情境中,进行分装与平分的活动.
N-1-06
能理解九九乘法.
N-1-07
能在具体情境中,解决加,减,乘之两步骤问题(不含连乘).
N-1-08
能做长度的实测,认识「公分」,「公尺」,并能做长度之比较与计算.
N-1-09
能做长度的简单估测.
N-1-10
能认识容量,重量,面积(不含常用单位).
N-1-11
能报读时刻,并认识时间常用单位.
几何
S-1-01
能由物体的外观,辨认,描述与分类简单几何形体.
S-1-02
能描绘或仿制简单几何形体.
S-1-03
能认识周遭物体中的角,直线和平面.
S-1-04
能认识生活周遭中平行与垂直的现象.
代数
A-1-01
能在具体情境中,认识等号两边数量一样多的意义与的递移律.
A-1-02
能在具体情境中,认识加法的交换律,结合律,乘法的交换律,并运用於简化计算.
A-1-03
能理解加减互逆,并运用於验算与解题.
统计与机率
D-1-01
能将资料做分类与整理,并说明其理由.
(2)第二阶段能力指标(国小三至四年级)
数与量
N-2-01
能说,读,听,写10000以内的数,比较其大小,并做位值单位的换算.
N-2-02
能透过位值概念,延伸整数的认识到大数(含亿,兆).
N-2-03
能熟练整数加,减的直式计算.
N-2-04
能理解除法的意义,解决生活中的问题,并理解整除,商与余数的概念.
N-2-05
能理解乘,除直式计算.
N-2-06
能在具体情境中,解决两步骤问题(含除法步骤).
N-2-07
能做整数四则混合运算,理解并式,并解决生活中的问题.
N-2-08
能在具体情境中,对大数在指定位数取概数(含四舍五入法),并做加,减之估算.
N-2-09
能在具体情境中,初步认识分数.
N-2-10
能认识真分数,假分数与带分数,做同分母分数的比较,加减与整数倍计算,并解决生活中的问题.
N-2-11
能理解分数之「整数相除」的意涵.
N-2-12
能认识等值分数,并做简单的应用.
N-2-13
能认识一位与二位小数,并做比较,直式加减及整数倍的计算.
N-2-14
能由长度测量的经验,透过刻度尺的方式来认识数线,并标记整数.
N-2-15
能在数线上做整数与小数之比较与加,减的操作.
N-2-16
能在数线上标记小数,并透过等值分数,标记简单的分数.
N-2-17
能做长度的实测,认识长度常用单位,并能做长度之比较与计算.
N-2-18
能做容量的实测,认识容量常用单位,并能做容量之比较与计算.
N-2-19
能做重量的实测,认识重量常用单位,并能做重量之比较与计算.
N-2-20
能使用量角器进行角度之实测,认识度的单位,并能做角度之比较与计算.
N-2-21
能认识面积常用单位,并能做面积之比较与计算.
N-2-22
能理解正方形和长方形的面积与周长公式.(S-2-08)
N-2-23
能认识体积,并认识「立方公分」的单位.
N-2-24
能做时或分同单位的加减计算.
N-2-25
能用复名数的方法处理量相关的计算问题(不含除法).
N-2-26
能做量的简单估测.
几何
S-2-01
能认识平面图形的内部,外部及其周界与周长.
S-2-02
能透过操作,将简单图形切割重组成另一已知简单图形.
S-2-03
能理解垂直与平行的意义.
S-2-04
能透过平面图形的组成要素,认识基本平面图形.
S-2-05
能透过操作,认识简单平面图形的性质.
S-2-06
能认识平面图形全等的意义.
S-2-07
能理解旋转角的意义.
S-2-08
能理解正方形和长方形的面积与周长公式.(N-2-22)
代数
A-2-01
能理解乘除互逆,并应用於验算与解题.
A-2-02
能在具体情境中,理解乘法结合律,并运用於简化计算.
A-2-03
能在四则混合计算中,运用数的运算性质.
统计与机率
D-2-01
能报读生活中常见的表格.
D-2-02
能认识并报读生活中的长条图,折线图.
(3)第三阶段能力指标(国小五至六年级)
数与量
N-3-01
能熟练整数乘,除的直式计算.
N-3-02
能熟练整数四则混合运算,并解决生活中的三步骤问题.
N-3-03
能理解因数,倍数,公因数与公倍数.
N-3-04
能认识质数,合数,并能用短除法做质因数分解.
N-3-05
能认识最大公因数,最小公倍数与两数互质的意义,并用来将分数化成最简分数.
N-3-06
能理解等值分数,约分,扩分的意义.
N-3-07
能理解通分的意义,并用来解决异分母分数的比较与加减问题.
N-3-08
能认识多位小数,并做比较,直式加减及整数倍的计算.
N-3-09
能理解分数(含小数)乘法的意义及计算方法,并解决生活中的问题.
N-3-10
能理解分数(含小数)除法的意义及计算方法,并解决生活中的问题.
N-3-11
能用直式处理小数的乘除计算(不含循环小数).
N-3-12
能在具体情境中,对某数在指定位数取概数(含四舍五入法),并做加,减,乘,除之估算.
N-3-13
能做分数与小数的互换,并标记在数线上.
N-3-14
能认识比率及其在生活中的应用.
N-3-15
能认识比,比值与正比的意义,并解决生活中的问题.
N-3-16
能认识导出单位并做简单的应用.
N-3-17
能理解速度的概念与应用,认识速度的常用单位及换算,并处理相关的计算问题.
N-3-18
能由生活中常用的数量关系,运用於理解问题并解决问题.(A-3-02)
N-3-19
能认识量的常用单位及其换算,并用复名数处理相关的计算问题.
N-3-20
能理解正方体和长方体的体积公式.(S-3-05)
N-3-21
能理解容量,容积和体积间的关系.
N-3-22
能运用切割重组,理解三角形,平行四边形与梯形的面积公式.(S-3-06)
N-3-23
能理解圆面积与圆周长的公式,并计算简单扇形面积.(S-3-07)
N-3-24
能理解简单直立柱体的体积为底面积与高的乘积.(S-3-10)
N-3-25
能计算正方体或长方体的表面积.(S-3-11)
几何
S-3-01
能利用几何形体的性质解决简单的几何问题.
S-3-02
能透过操作,认识「三角形三内角和为180度」与「两边和大於第三边」的性质.
S-3-03
能理解平面图形的线对称关系.
S-3-04
能认识平面图形放大,缩小对长度,角度与面积的影响,并认识比例尺.
S-3-05
能理解正方体和长方体的体积公式.(N-3-20)
S-3-06
能运用切割重组,理解三角形,平行四边形与梯形的面积公式.(N-3-22)
S-3-07
能理解圆面积与圆周长的公式,并计算简单扇形面积.(N-3-23)
S-3-08
能认识面的平行与垂直,线与面的垂直.
S-3-09
能认识球,直圆柱,直圆锥,直角柱与正角锥.
S-3-10
能理解简单直立柱体的体积为底面积与高的乘积.(N-3-24)
S-3-11
能计算正方体或长方体的表面积.(N-3-25)
代数
A-3-01
能在具体情境中,理解乘法对加法的分配律与其他乘除混合计算之性质,并运用於简化计算.
A-3-02
能由生活中常用的数量关系,运用於理解问题并解决问题.(N-3-18)
A-3-03
能认识等量公理.
A-3-04
能用含未知数符号的算式表徵具体情境之单步骤问题,并解释算式与情境的关系.
A-3-05
能解决用未知数列式之单步骤问题.
A-3-06
能用符号表示简单的常用公式.
统计与机率
D-3-01
能整理生活中的资料,并制成长条图,折线图或圆形图.
(4)第四阶段能力指标(国中一至三年级)
数与量
N-4-01
能理解质数,质因数分解,最大公因数,最小公倍数,互质的意义.
N-4-02
能熟练求质因数分解,最大公因数,最小公倍数的短除法,并解决生活中的问题.
N-4-03
能理解比例关系,连比,正比,反比的意义,并解决生活中的问题.
N-4-04
能熟练比例式的基本运算.
N-4-05
能认识负数,相反数,绝对值的意义.
N-4-06
能做正负数的比较与加,减,乘,除计算.
N-4-07
能将负数标记在数线上,理解正负数的比较与加,减运算在数线上的对应意义,并能计算数线上两点的距离.
N-4-08
能熟练正负数的四则混合运算.
N-4-09
能认识指数的记号与指数律.
N-4-10
能认识科学记号.
N-4-11
能认识二次方根及其近似值.
N-4-12
能理解根式的四则运算.
N-4-13
能辨识数列的规则性.
N-4-14
能熟练等差数列与等差级数的样式,记法与公式,并解决相关问题.
几何
S-4-01
能理解常用几何形体之定义与性质.
S-4-02
能指出满足给定几何性质的形体.
S-4-03
能透过形体之刻画性质,判断不同形体之包含关系.
S-4-04
能利用形体的性质解决几何问题.
S-4-05
能理解毕氏定理及其逆叙述,并用来解题.
S-4-06
能理解外角和定理与三角形,多边形内角和定理的关系.
S-4-07
能理解平面上两平行直线的各种几何性质.
S-4-08
能理解线对称图形的几何性质,并应用於解题和推理.
S-4-09
能理解三角形的全等定理,并应用於解题和推理.
S-4-10
能根据直尺,圆规操作过程的叙述,完成尺规作图.
S-4-11
能理解一般三角形的几何性质.
S-4-12
能理解特殊三角形(如正三角形,等腰三角形,直角三角形)的几何性质.
S-4-13
能理解特殊四边形(如正方形,矩形,平行四边形,菱形,梯形)与正多边形的几何性质.
S-4-14
能理解图形缩放前后不变的几何性质.
S-4-15
能理解三角形和多边形的相似性质,并应用於解题和推理.
S-4-16
能理解三角形内心,外心,重心的意义与性质.
S-4-17
能理解圆的几何性质.
S-4-18
能用反例说明一叙述错误的原因,并能辨识一叙述及其逆叙述间的不同.(A-4-19)
S-4-19
能针对问题,利用几何或代数性质做简单证明.(A-4-20)
代数
A-4-01
能用符号代表数,表示常用公式,运算规则以及常见的数量关系(例如:比例关系,函数关系).
A-4-02
能理解数的四则运算律,并知道加与减,乘与除是同一种运算.
A-4-03
能用x,y,…符号表徵问题情境中的未知量及变量,并将问题中的数量关系,写成恰当的算式(等式或不等式).
A-4-04
能理解生活中常用的数量关系(例如:比例关系,函数关系),恰当运用於理解题意,并将问题列成算式.
A-4-05
能理解等量公理的意义,并做应用.
A-4-06
能理解解题的一般过程,知道解出方程式或不等式后,还要验算其解的合理性.
A-4-07
能熟练一元一次方程式的解法,并用来解题.
A-4-08
能理解一元一次不等式解的意义,并用来解题.
A-4-09
能理解二元一次方程式的意义.
A-4-10
能理解直角坐标系,并能计算坐标平面上两点间的距离.
A-4-11
能在坐标平面上,画出一次函数或二元一次方程式的图形.
A-4-12
能熟练二元一次联立方程式的解法,并用来解题.
A-4-13
能熟练乘法公式.
A-4-14
能认识多项式,并熟练其四则运算.
A-4-15
能理解毕氏(勾股)定理,并做应用.
A-4-16
能用因式分解或配方法,解出二次方程式,并用来解题.
A-4-17
能利用配方法,计算二次函数的最大值或最小值.
A-4-18
能理解二次函数图形的线对称性,求出其线对称轴以及最高点或最低点,并应用来画出坐标平面上二次函数的图形.
A-4-19
能用反例说明一叙述错误的原因.能辨识一个叙述及其逆叙述间的不同.(S-4-18)
A-4-20
能针对问题,利用几何或代数性质做简单证明.(S-4-19)
统计与机率
D-4-01
能利用统计量,例如:平均数,中位数及众数等,来认识资料集中的位置.
D-4-02
能利用统计量,例如:全距,四分位距等,来认识资料分散的情形.
D-4-03
能以中位数,四分位数,百分位数,来认识资料在群体中的相对位置.
D-4-04
能在具体情境中认识机率的概念.
3.分年细目
本纲要的能力指标是依主题与阶段的学习能力而订定,然因多数指标须采分年教学,方能达成其教学目标.因此,由阶段能力指标演绎出更细致的分年细目及诠释,方能明确掌握分年教学的目标.
能力指标,分年细目与分年细目诠释之内容,应为教师教学及教科书编辑的主要参考依据.此外,教师教学及教科书编辑亦可依诠释内容为基础,在深度与广度上做适度的延伸.
分年细目与能力指标相同,亦采三码编排,第一码表示年级,分别以1,…,9表示一至九年级;第二码表示主题,分别以小写字母n,s,a,d表示「数与量」,「几何」,「代数」和「统计与机率」四个主题;第三码则是分年细目的流水号,表示该细项下分年细目的序号.
第一阶段(国小一至二年级)
一年级分年细目
数与量
分年细目
对照指标
1-n-01
能认识100以内的数及「个位」,「十位」的位名,并进行位值单位的换算.
N-1-01
1-n-02
能认识1元,5元,10元等钱币币值,并做1元与10元钱币的换算.
N-1-01
1-n-03
能运用数表达多少,大小,顺序.
N-1-01
1-n-04
能从合成,分解的活动中,理解加减法的意义,使用+,-,=做横式纪录与直式纪录,并解决生活中的问题.
N-1-02
A-1-01
1-n-05
能熟练基本加减法.
N-1-02
1-n-06
能做一位数之连加,连减与加减混合计算.
N-1-02
1-n-07
能进行2个一数,5个一数,10个一数等活动.
N-1-01
N-1-04
1-n-08
能认识常用时间用语,并报读日期与钟面上整点,半点的时刻.
N-1-11
1-n-09
能认识长度,并做直接比较.
N-1-08
S-1-01
S-1-03
1-n-10
能利用间接比较或以个别单位实测的方法比较物体的长短.
N-1-08
几何
分年细目
对照指标
1-s-01
能认识直线与曲线.
S-1-01
1-s-02
能辨认,描述与分类简单平面图形与立体形体.
S-1-01
1-s-03
能描绘或仿制简单平面图形.
S-1-02
1-s-04
能依给定图示,将简单形体做平面铺设与立体堆叠.
S-1-02
代数
分年细目
对照指标
1-a-01
能在具体情境中,认识加法的交换律.
A-1-02
1-a-02
能在具体情境中,认识加减互逆.
A-1-03
统计与机率
分年细目
对照指标
1-d-01
能对生活中的事件或活动做初步的分类与记录.
D-1-01
1-d-02
能将纪录以统计表呈现并说明.
D-1-01
二年级分年细目
数与量
分年细目
对照指标
2-n-01
能认识1000以内的数及「百位」的位名,并进行位值单位换算.
N-1-01
2-n-02
能认识100元的币值,并做10元与100元钱币的换算.
N-1-01
2-n-03
能用表示数量大小关系,并在具体情境中认识递移律.(同2-a-01)
N-1-01
A-1-01
2-n-04
能熟练二位数加减直式计算.
N-1-02
N-1-03
2-n-05
能理解三位数加减直式计算(不含两次退位).
N-1-02 N-1-03
2-n-06
能理解乘法的意义,使用×,=做横式纪录与直式纪录,并解决生活中的问题.
N-1-04
A-1-01
2-n-07
能在具体情境中,进行分装与平分的活动.
N-1-05
N-1-06
2-n-08
能理解九九乘法.
N-1-06
A-1-02
2-n-09
能在具体情境中,解决两步骤问题(加与减,不含并式).
N-1-07
2-n-10
能在具体情境中,解决两步骤问题(加,减与乘,不含并式).
N-1-07
2-n-11
能做简单的二位数加减估算.
N-1-02
2-n-12
能认识钟面上的时刻是几点几分.
N-1-11
2-n-13
能认识「年」,「月」,「星期」,「日」,并知道「某月有几日」,「一星期有七天」.
N-1-11
2-n-14
能理解用不同个别单位测量同一长度时,其数值不同,并能说明原因.
N-1-08
2-n-15
能认识长度单位「公分」,「公尺」及其关系,并能做相关的实测,估测与同单位的计算.
N-1-08
N-1-09
2-n-16
能认识容量.
N-1-10
2-n-17
能认识重量.
N-1-10
2-n-18
能认识面积.(同2-s-04)
N-1-10
S-1-03
几何
分年细目
对照指标
2-s-01
能认识周遭物体上的角,直线与平面(含简单立体形体).
S-1-03
2-s-02
能认识生活周遭中平行与垂直的现象.
S-1-04
2-s-03
能使用直尺处理与线段有关的问题.
N-1-08
S-1-02
2-s-04
能认识面积.(同2-n-18)
N-1-10
S-1-03
2-s-05
认识简单平面图形的边长关系.
N-1-08
S-1-01
S-1-03
代数
分年细目
对照指标
2-a-01
能用表示数量大小关系,并在具体情境中认识递移律.(同2-n-03)
N-1-01
A-1-01
2-a-02
能在具体情境中,认识加法顺序改变并不影响其和的性质.
A-1-02
2-a-03
能在具体情境中,认识乘法交换律.
A-1-02
2-a-04
能理解加减互逆,并运用於验算与解题.
A-1-03
第二阶段(国小三至四年级)
三年级分年细目
数与量
分年细目
对照指标
3-n-01
能认识10000以内的数及「千位」的位名,并进行位值单位换算.
N-2-01
3-n-02
能熟练加减直式计算(四位数以内,和<10000,含多重退位).
N-2-03
3-n-03
能用并式记录加减两步骤的问题.
N-2-06
N-2-07
3-n-04
能熟练三位数乘以一位数的直式计算.
N-2-05
3-n-05
能理解除法的意义,运用÷,=做横式纪录(包括有余数的情况),并解决生活中的问题.
N-2-04
3-n-06
能熟练三位数除以一位数的直式计算.
N-2-05
3-n-07
能在具体情境中,解决两步骤问题(加,减与除,不含并式).
N-2-06
3-n-08
能在具体情境中,解决两步骤问题(连乘,不含并式).
N-2-06
3-n-09
能由长度测量的经验来认识数线,标记整数值与一位小数,并在数线上做大小比较,加,减的操作.
N-2-14
N-2-15
3-n-10
能做简单的三位数加减估算.
N-2-03
3-n-11
能在具体情境中,初步认识分数,并解决同分母分数的比较与加减问题.
N-2-09
N-2-10
3-n-12
能认识一位小数,并做比较与加减计算.
N-2-13
3-n-13
能认识时间单位「日」,「时」,「分」,「秒」及其间的关系,并做同单位时间量及时,分复名数的加减计算(不进,退位).
N-2-24
3-n-14
能认识长度单位「毫米」及「公尺」,「公分」,「毫米」间的关系,并做相关的实测,估测与计算.
N-2-17
N-2-26
3-n-15
能认识容量单位「公升」,「毫公升」(简称「毫升」)及其关系,并做相关的实测,估测与计算.
N-2-18
N-2-26
3-n-16
能认识重量单位「公斤」,「公克」及其关系,并做相关的实测,估测与计算.
N-2-19
N-2-26
3-n-17
能认识角,并比较角的大小.(同3-s-04)
N-2-20
S-2-04
3-n-18
能认识面积单位「平方公分」,并做相关的实测与计算.(同3-s-05)
N-2-21
S-2-02
几何
分年细目
对照指标
3-s-01
能认识平面图形的内部,外部与其周界.
S-2-01
3-s-02
能认识周长,并实测周长.
N-2-17
S-2-01
3-s-03
能使用圆规画圆,认识圆的「圆心」,「圆周」,「半径」与「直径」.
S-2-04
S-2-05
3-s-04
能认识角,并比较角的大小.(同3-n-17)
N-2-20
S-2-04
3-s-05
能认识面积单位「平方公分」,并做相关的实测与计算.(同3-n-18)
N-2-21
S-2-02
3-s-06
能透过操作,将简单图形切割重组成另一已知简单图形.
S-2-02
3-s-07
能由边长和角的特性来认识正方形和长方形.
S-2-04
代数
分年细目
对照指标
3-a-01
能理解乘除互逆,并运用於验算及解题.
A-2-01
统计与机率
分年细目
对照指标
3-d-01
能报读生活中常见的表格.
D-2-01
四年级分年细目
数与量
分年细目
对照指标
4-n-01
能透过位值概念,延伸整数的认识到大数(含「亿」,「兆」之位名),并做位值单位的换算.
N-2-02
4-n-02
能熟练整数加,减的直式计算.
N-2-03
4-n-03
能熟练较大位数的乘除直式计算.
N-2-05
4-n-04
能在具体情境中,解决两步骤问题,并学习并式的记法与计算.
N-2-06
N-2-07
A-2-02
4-n-05
能做整数四则混合计算(两步骤).
N-2-07
A-2-03
4-n-06
能在具体情境中,对大数在指定位数取概数(含四舍五入法),并做加,减之估算.
N-2-08
4-n-07
能理解分数之「整数相除」的意涵.
N-2-11
4-n-08
能认识真分数,假分数与带分数,熟练假分数与带分数的互换,并进行同分母分数的比较,加,减与整数倍的计算.
N-2-10
4-n-09
能认识等值分数,进行简单异分母分数的比较,并用来做简单分数与小数的互换.
N-2-12
N-2-16
4-n-10
能将简单分数标记在数线上.
N-2-16
4-n-11
能认识二位小数与百分位的位名,并做比较.
N-2-13
4-n-12
能用直式处理二位小数加,减与整数倍的计算,并解决生活中的问题.
N-2-13
4-n-13
能解决复名数的时间量的计算问题.
N-2-24
N-2-25
4-n-14
能以复名数解决量(长度,容量,重量)的计算问题.
N-2-17
N-2-18
N-2-19
N-2-25
4-n-15
能认识长度单位「公里」,及「公里」与其他长度单位的关系,并做相关计算.
N-2-17
4-n-16
能认识角度单位「度」,并使用量角器实测角度或画出指定的角.(同4-s-04)
N-2-20
4-n-17
能认识面积单位「平方公尺」,及「平方公分」,「平方公尺」间的关系,并做相关计算.
N-2-21
4-n-18
能理解长方形和正方形的面积公式与周长公式.
(同4-s-09)
N-2-22
S-2-08
4-n-19
能认识体积及体积单位「立方公分」.
N-2-23
几何
分年细目
对照指标
4-s-01
能运用「角」与「边」等构成要素,辨认简单平面图形.
S-2-04
4-s-02
能透过操作,认识基本三角形与四边形的简单性质.
S-2-05
4-s-03
能认识平面图形全等的意义.
S-2-06
4-s-04
能认识「度」的角度单位,使用量角器实测角度或画出指定的角.(同4-n-16)
N-2-20
4-s-05
能理解旋转角(包括平角和周角)的意义.
S-2-07
4-s-06
能理解平面上直角,垂直与平行的意义.
N-2-20
S-2-03
4-s-07
能认识平行四边形和梯形.
S-2-02
S-2-03
S-2-04
4-s-08
能利用三角板画出直角与两平行线段,并用来描绘平面图形.
S-2-03
S-2-04
4-s-09
能理解长方形和正方形的面积公式与周长公式.
(同4-n-18)
N-2-22
S-2-08
代数
分年细目
对照指标
4-a-01
能在具体情境中,理解乘法结合律.
A-2-02
4-a-02
能在四则混合计算中,运用数的运算性质.
N-2-07
A-2-01
统计与机率
分年细目
对照指标
4-d-01
能报读生活中常用的长条图.
D-2-02
4-d-02
能报读生活中常用的折线图.
D-2-02
第三阶段(国小五至六年级)
五年级分年细目
数与量
分年细目
对照指标
5-n-01
能熟练整数乘,除的直式计算.
N-3-01
5-n-02
能在具体情境中,解决三步骤问题,并能并式计算.
N-3-02
A-3-01
5-n-03
能熟练整数四则混合计算.
N-3-02
A-3-01
5-n-04
能理解因数和倍数.
N-3-03
5-n-05
能认识两数的公因数,公倍数,最大公因数与最小公倍数.
N-3-03
5-n-06
能用约分,扩分处理等值分数的换算.
N-3-06
5-n-07
能用通分做简单异分母分数的比较与加减.
N-3-07
5-n-08
能理解分数乘法的意义,并熟练其计算,解决生活中的问题.
N-3-09
5-n-09
能理解除数为整数的分数除法的意义,并解决生活中的问题.
N-3-10
5-n-10
能认识多位小数,并做比较与加,减与整数倍的计算,以及解决生活中的问题.
N-3-08
5-n-11
能用直式处理乘数是小数的计算,并解决生活中的问题.
N-3-09
N-3-11
5-n-12
能用直式处理整数除以整数,商为三位小数的计算.
N-3-11 N-3-13
5-n-13
能将分数,小数标记在数线上.
N-3-11 N-3-13
5-n-14
能认识比率及其在生活中的应用(含「百分率」,「折」).
N-3-14
5-n-15
能解决时间的乘除计算问题.
N-3-19
5-n-16
能认识重量单位「公吨」,「公吨」及「公斤」间的关系,并做相关计算.
N-3-19
5-n-17
能认识面积单位「公亩」,「公顷」,「平方公里」及其关系,并做相关计算.
N-3-19
5-n-18
能运用切割重组,理解三角形,平行四边形与梯形的面积公式.(同5-s-05)
N-3-22
S-3-06
5-n-19
能认识体积单位「立方公尺」,「立方公分」及「立方公尺」间的关系,并做相关计算.
N-3-19
5-n-20
能理解长方体和正方体体积的计算公式,并能求出长方体和正方体的表面积.(同5-s-07)
N-3-20
N-3-25
S-3-05
S-3-11
5-n-21
能理解容量,容积和体积间的关系.
N-3-21
几何
分年细目
对照指标
5-s-01
能透过操作,理解三角形三内角和为180度.
S-3-02
5-s-02
能透过操作,理解三角形任意两边和大於第三边.
S-3-02
5-s-03
能认识圆心角,并认识扇形.
S-3-01
5-s-04
能认识线对称与简单平面图形的线对称性质.
S-3-03
5-s-05
能运用切割重组,理解三角形,平行四边形与梯形的面积公式.(同5-n-18)
N-3-22
S-3-06
5-s-06
能认识球,直圆柱,直圆锥,直角柱与正角锥.
S-3-09
5-s-07
能理解长方体和正方体体积的计算公式,并能求出长方体和正方体的表面积.(同5-n-20)
N-3-20
N-3-25
S-3-05
S-3-11
代数
分年细目
对照指标
5-a-01
能在具体情境中,理解乘法对加法的分配律,并运用於简化计算.
N-3-02
A-3-01
5-a-02
能在具体情境中,理解先乘再除与先除再乘的结果相同,也理解连除两数相当於除以此两数之积.
A-3-01
5-a-03
能熟练运用四则运算的性质,做整数四则混合计算.
N-3-02
A-3-01
5-a-04
能将整数单步骤的具体情境问题列成含有未知数符号的算式,并能解释算式,求解及验算.
A-3-04
A-3-05
六年级分年细目
数与量
分年细目
对照指标
6-n-01
能认识质数,合数,并用短除法做质因数的分解
(质数<20,质因数<20,被分解数<100).
N-3-04
6-n-02
能用短除法求两数的最大公因数,最小公倍数.
N-3-05
6-n-03
能认识两数互质的意义,并将分数约成最简分数.
N-3-05
6-n-04
能理解分数除法的意义及熟练其计算,并解决生活中的问题.
N-3-10
6-n-05
能在具体情境中,解决分数的两步骤问题,并能并式计算.
N-3-02
A-3-01
6-n-06
能用直式处理小数除法的计算,并解决生活中的问题.
N-3-10
N-3-11
6-n-07
能在具体情境中,对整数及小数在指定位数取概数(含四舍五入法),并做加,减,乘,除之估算.
N-3-12
6-n-08
能在具体情境中,解决小数的两步骤问题,并能并式计算.
N-3-02
A-3-01
6-n-09
能认识比和比值,并解决生活中的问题.
N-3-15
6-n-10
能理解正比的意义,并解决生活中的问题.
N-3-15
6-n-11
能理解常用导出量单位的记法,并解决生活中的问题.
N-3-16
6-n-12
能认识速度的意义及其常用单位.
N-3-16
N-3-17
6-n-13
能利用常用的数量关系,列出恰当的算式,进行解题,并检验解的合理性.(同6-a-04)
N-3-18
A-3-02
A-3-03
A-3-04
A-3-05
6-n-14
能理解圆面积与圆周长的公式,并计算简单扇形的面积..(同6-s-03)
N-3-23
S-3-07
6-n-15
能理解简单直柱体的体积为底面积与高的乘积.
(同6-s-05)
N-3-24
S-3-10
几何
分年细目
对照指标
6-s-01
能利用几何形体的性质解决简单的几何问题.
S-3-01
6-s-02
能认识平面图形放大,缩小对长度,角度与面积的影响,并认识比例尺.
S-3-04
6-s-03
能理解圆面积与圆周长的公式,并计算简单扇形的面积.(同6-n-14)
N-3-23
S-3-07
6-s-04
能认识面与面的平行与垂直,线与面的垂直,并描述正方体与长方体中面与面,线与面的关系.
S-3-08
6-s-05
能理解简单直柱体的体积为底面积与高的乘积.
(同6-n-15)
N-3-24
S-3-10
代数
分年细目
对照指标
6-a-01
能理解等量公理.
A-3-03
6-a-02
能将分数单步骤的具体情境问题列成含有未知数符号的算式,并求解及验算.
A-3-04
A-3-05
6-a-03
能用符号表示常用的公式.
A-3-06
6-a-04
能利用常用的数量关系,列出恰当的算式,进行解题,并检验解的合理性.(同6-n-13)
N-3-18
A-3-02
A-3-03
A-3-04
A-3-05
统计与机率
分年细目
对照指标
6-d-01
能整理生活中的资料,并制成长条图.
D-3-01
6-d-02
能整理生活中的有序资料,并绘制成折线图.
D-3-01
6-d-03
能报读生活中常用的圆形图,并能整理生活中的资料,制成圆形图.
D-3-01
第四阶段(国中一至三年级)
七年级分年细目
数与量
分年细目
对照指标
7-n-01
能理解质数的意义,并认识100以内的质数.
N-4-01
7-n-02
能理解因数,质因数,倍数,公因数,公倍数及互质的概念,并熟练质因数分解的计算方法.
N-4-01
N-4-02
N-4-09
7-n-03
能以最大公因数,最小公倍数熟练约分,扩分,最简分数及分数加减的计算.
N-4-02
7-n-04
能认识负数,并能以「正,负」表徵生活中性质相反的量.
N-4-05
7-n-05
能认识绝对值,并能利用绝对值比较负数的大小.
N-4-05
7-n-06
能理解负数的特性并熟练数(含小数,分数)的四则混合运算.
N-4-05
N-4-06
N-4-08
7-n-07
能熟练数的运算规则.
N-4-08
A-4-02
7-n-08
能理解数线,数线上两点的距离公式,及能藉数线上数的位置验证数的大小关系.
N-4-07
7-n-09
能以不等式标示数的范围或数线上任一线段的范围.
N-4-07
A-4-08
7-n-10
能理解指数为非负整数的次方,并能运用到算式中.
N-4-09
7-n-11
能理解同底数的相乘或相除的指数律.
N-4-09
7-n-12
能用科学记号表示法表达很大的数或很小的数.
N-4-10
7-n-13
能理解比,比例式,正比,反比的意义,并能解决生活中有关比例的问题.
N-4-03
7-n-14
能熟练比例式的基本运算.
N-4-04
7-n-15
能理解连比,连比例式的意义,并能解决生活中有关连比例的问题.
N-4-03
N-4-04
代数
分年细目
对照指标
7-a-01
能熟练符号的意义,及其代数运算.
A-4-01
A-4-02
7-a-02
能用符号算式记录生活情境中的数学问题.
A-4-03
A-4-04
7-a-03
能理解一元一次方程式及其解的意义,并能由具体情境中列出一元一次方程式.
A-4-03
A-4-06
A-4-07
7-a-04
能以等量公理解一元一次方程式,并做验算.
A-4-05
A-4-07
7-a-05
能利用移项法则来解一元一次方程式,并做验算.
A-4-07
7-a-06
能理解二元一次方程式及其解的意义,并能由具体情境中列出二元一次方程式.
A-4-03
A-4-09
7-a-07
能理解二元一次联立方程式,及其解的意义,并能由具体情境中列出二元一次联立方程式.
A-4-03
A-4-12
7-a-08
能熟练使用代入消去法与加减消去法解二元一次方程式的解.
A-4-12
7-a-09
能认识函数.
A-4-01
A-4-04
7-a-10
能认识常数函数及一次函数.
A-4-01
A-4-04
7-a-11
能理解平面直角坐标系.
A-4-10
7-a-12
能在直角坐标平面上描绘常数函数及一次函数的图形.
A-4-11
7-a-13
能在直角坐标平面上描绘二元一次方程式的图形.
A-4-11
7-a-14
能理解二元一次联立方程式解的几何意义.
A-4-11
A-4-12
7-a-15
能理解不等式的意义.
A-4-08
7-a-16
能由具体情境中列出简单的一元一次不等式.
A-4-03
A-4-08
7-a-17
能解出一元一次不等式,并在数线上标示相关的线段.
A-4-08
7-a-18
能说明a ( x ( b时y=cx+d的范围,并在数线上图示.
A-4-11
八年级分年细目
数与量
分年细目
对照指标
8-n-01
能理解二次方根的意义及熟练二次方根的计算.
N-4-11
N-4-12
8-n-02
能求二次方根的近似值.
N-4-11
8-n-03
能理解根式的化简及四则运算.
N-4-12
8-n-04
能在日常生活中,观察有次序的数列,并理解其规则性.
N-4-13
8-n-05
能观察出等差数列的规则性,并能利用首项,公差计算出等差数列的一般项.
N-4-13
N-4-14
8-n-06
能理解等差级数求和的公式,并能解决生活中相关的问题.
N-4-13
N-4-14
几何
分年细目
对照指标
8-s-01
能认识一些简单图形及其常用符号,如点,线,线段,射线,角,三角形的符号.
S-4-01
8-s-02
能理解角的基本性质.
S-4-01
S-4-04
8-s-03
能理解凸多边形内角和以及外角和公式.
S-4-06
8-s-04
能认识垂直以及相关的概念.
S-4-01
S-4-04
8-s-05
能理解平行的意义,平行线截线性质,以及平行线判别性质.
S-4-01
S-4-07
8-s-06
能理解线对称的意义,以及能应用到理解平面图形的几何性质.
S-4-08
8-s-07
能理解三角形全等性质.
S-4-09
8-s-08
能理解毕氏定理(Pythagorean Theorem)及其应用.
(同8-a-05)
S-4-05
A-4-15
8-s-09
能熟练直角坐标上任两点的距离公式.
S-4-05
A-4-10
8-s-10
能理解三角形的基本性质.
S-4-08
S-4-09
S-4-11
S-4-12
8-s-11
能认识尺规作图并能做基本的尺规作图.
S-4-10
8-s-12
能理解特殊的三角形与特殊的四边形的性质.
S-4-02
S-4-03
S-4-04
S-4-08
S-4-12
S-4-13
8-s-13
能理解平行四边形及其性质.
S-4-02
S-4-04
S-4-07
S-4-13
8-s-14
能用线对称概念,理解等腰三角形,正方形,菱形,筝形等平面图形.
S-4-08
S-4-12
S-4-13
8-s-15
能理解梯形及其性质.
S-4-13
8-s-16
能举例说明,有一些叙述成立时,其逆叙述也会成立;但是,也有一些叙述成立时,其逆叙述却不成立.
S-4-18
8-s-17
能针对几何推理中的步骤,写出所依据的几何性质.
S-4-19
8-s-18
能从几何图形的判别性质,判断图形的包含关系.
S-4-03
S-4-04
8-s-19
能熟练计算简单图形及其复合图形的面积.
S-4-04
8-s-20
能理解与圆相关的概念(如半径,弦,弧,弓形等)的意义.
S-4-17
8-s-21
能理解弧长的公式以及扇形面积的公式.
S-4-17
代数
分年细目
对照指标
8-a-01
能熟练二次式的乘法公式.
A-4-13
8-a-02
能理解简单根式的化简及有理化.
N-4-12
8-a-03
能认识多项式及相关名词.
A-4-14
8-a-04
能熟练多项式的加,减,乘,除四则运算.
A-4-14
8-a-05
能理解毕氏定理(Pythagorean Theorem)及其应用.
(同8-s-08)
S-4-05
A-4-15
8-a-06
能理解二次多项式因式分解的意义.
A-4-16
8-a-07
能利用提公因式法分解二次多项式.
A-4-16
8-a-08
能利用乘法公式与十字交乘法做因式分解.
A-4-16
8-a-09
能在具体情境中认识一元二次方程式,并理解其解的意义.
A-4-06
A-4-16
8-a-10
能利用因式分解来解一元二次方程式.
A-4-16
8-a-11
能利用配方法解一元二次方程式.
A-4-16
8-a-12
能利用一元二次方程式解应用问题.
A-4-16
九年级分年细目
几何
分年细目
对照指标
9-s-01
能理解平面图形缩放的意义.
S-4-14
9-s-02
能理解多边形相似的意义.
S-4-15
9-s-03
能理解三角形的相似性质.
S-4-15
9-s-04
能理解平行线截比例线段性质及其逆叙述.
S-4-07
9-s-05
能利用相似三角形对应边成比例的观念,解应用问题.
S-4-15
9-s-06
能理解圆的几何性质.
S-4-17
9-s-07
能理解直线与圆及两圆的关系.
S-4-17
9-s-08
能理解多边形外心的意义和相关性质.
S-4-16
S-4-17
9-s-09
能理解多边形内心的意义和相关性质.
S-4-16
S-4-17
9-s-10
能理解三角形重心的意义和相关性质.
S-4-16
9-s-11
能理解正多边形的几何性质(含线对称,内切圆,外接圆).
S-4-08
S-4-13
S-4-17
9-s-12
能认识证明的意义.
S-4-19
A-4-20
9-s-13
能认识线与平面,平面与平面的垂直关系与平行关系.
S-4-01
9-s-14
能理解简单立体图形.
S-4-01
S-4-02
9-s-15
能理解简单立体图形的展开图,并能利用展开图来计算立体图形的表面积或侧面积.
S-4-01
S-4-04
9-s-16
能计算直角柱,直圆柱的体积.
S-4-01
S-4-04
代数
分年细目
对照指标
9-a-01
能理解二次函数的意义.
A-4-04
9-a-02
能描绘二次函数的图形.
A-4-18
9-a-03
能计算二次函数的最大值或最小值.
A-4-17
9-a-04
能解决二次函数的相关应用问题.
A-4-17
A-4-18
统计与机率
分年细目
对照指标
9-d-01
能将原始资料整理成次数分配表,并制作统计图形,来显示资料蕴含的意义.
D-4-01
D-4-02
D-4-03
9-d-02
认识平均数,中位数与众数.
D-4-01
D-4-03
9-d-03
能认识全距及四分位距,并制作盒状图.
D-4-02
D-4-03
9-d-04
能认识百分位数的概念,并认识第10,25,50,75,90百分位数.
D-4-03
9-d-05
能在具体情境中认识机率的概念.
D-4-04
(四)能力指标与十大基本能力的关系
基 本 能 力
能 力 指 标
1.了解自我与发展潜能
了解自己在数量或形上的能力及思考型态的倾向.
挑战并增加自我的数学能力.
2.欣赏,表现与创新
以数学眼光欣赏各学习领域中的规律.
领会数学本身的美.
以数学有组织,有效地表现想法.
3.生涯规划与终身学习
具有终身学习所需的数学基本知识.
养成凡事都能尝试用数学的观点或方法来切入的习惯.
4.表达,沟通与分享
结合一般语言与数学语言说明情境及问题.
从数学的观点推测及说明解答的属性及合理性.
与他人分享思考历程与成果.
5.尊重,关怀与团队合作
互相帮助解决问题.
尊重同侪解决数学问题的多元想法.
关怀同侪的数学学习.
6.文化学习与国际了解
连结数学发展与人类文化活动间的互动.
与其他学习领域(语文,社会,自然与生活科技,艺术与人文,健康与体育,综合活动)连结.
7.规划,组织与实践
组织数学材料.
以数学观念组织材料.
以数学语言与数学思维做系统规划.
8.运用科技与资讯
将各学习领域与数学相关的资料资讯化.
9.主动探索与研究
形成问题,搜集,观察,实验,分类,归纳,类比,分析,转化,臆测,推论,推理,监控,确认,反驳,特殊化,一般化.
10.独立思考与解决问题
进行数学式思维.
以数,形,量的概念与方法探讨并解决问题.
(五)实施要点
本实施要点包括「教学」,「评量」,「教科书」与「电脑与电算器」四部分.
1.教学
(1)课程纲要能力指标的订定,以该阶段或分年结束时,学生应具备的数学能力为考量.教师应依据能力指标及其诠释,规划课程,教案或依照教科书进行教学.教材选取应配合地方生活环境和学生实际生活,选择适当而有趣的题材,并布置适当的学习环境,以利於教学.
(2)能力指标与分年细目是离散的条目,但教学与学习是连续的过程.阶段或分年的规定,强调的是在该阶段或分年中,应以条目内容为重点,发展并完成.但是基於学习的需求,教师仍然可以依自己的经验,先做部分的跨阶段或跨年的前置处理,或做后续的补强教学.
(3)教师教学应以学生为主体,以学生的数学能力发展为考量.数学学习节奏之疏熟快慢,经常因人而异.教师应避免将全班学生,当做均质的整体,并应透过教学的评量,分析学生的学习问题,做适当的诊断,导引与解决.
(4)课程纲要的制定,并未预设特定的教学法,反而希望教师能依学生的年龄,前置经验,授课主题特性与教学现场的状况,因时制宜,采用教师本身觉得恰当或擅於处理的教学法,顺畅地进行教学.
(5)教学活动的设计应注重不同阶段的学习型态,并与教学目标配合.
(6)数学教学应注重数,量,形的联系,让学生在实作,实测与直觉中,获得数,量,形及其相互关系的概念,并逐步抽象化与程序化成为精鍊有效的数学语言,再经由反思,论证,练习与解题,让学生逐步稳定掌握其概念,作为进一步学习的基础.
(7)教学过程可透过引导,启发或教导,使学生能在具体的问题情境中,顺利以所学的数学知识为基础,形成解决问题所需的新数学概念,并有策略地选择正确又有效率的解题程序.教师可提供有启发性的问题,关键性的问题,现实生活的应用问题,激发学生不同的想法.但应避免空洞的或无意义的开放式问题,也避免预设或过早提出解题方式和结果.
(8)教师应协助学生体验生活情境与数学的连结过程,培养学生能以数学的观点考察周遭事物的习惯,并培养学生观察问题中的数学意涵,特性与关系,养成以数学的方式,将问题表徵为数学问题再加以解决的习惯,以提高应用数学知识的能力.同时在发展解题策略的过程中,加深对数学概念之理解.
(9)当学生学习数学时,在生活应用解题与抽象形式能力两课题间,必须来回往复地相互加强,才能真正顺利地发展数学能力,不必过度执著於生活情境,干扰甚至忽略学生抽象形式能力的发展;也不应一味强调抽象程序的学习,妨碍学生将数学应用於日常生活解题的能力.
(10)数学与其他学科的差异,在於其结构层层累积,而其发展既依赖直觉又需要推理.因此教师不宜负面地将学生的错误皆视为犯错,而应考察学生发生问题的根源(语言未沟通,肆意扩张约定,推理的谬误等),并针对问题协助学生.因此教学时,宜提供充足的时间,鼓励学生说明其理由与想法,肯定其正确的巧思,或用关键的例子,厘清其错误.
(11)要学好数学,仰赖学生在各课题的学习,最后都能收敛连结为对数学的整体感或直觉,以作为下一个课题学习的基础.整体感的自信,相当依赖於学生对於相关程序(计算方式,解题方式等)的熟练,而这种熟练,则需要教师能给予学生有启发性的练习,让学生从各种练习中,沈淀自己新学的概念,并能够与原先的数学知识相连结.
(12)教师应对学生强调验算的重要性.这能让学生理解各运算之内在关系,发展对问题解答之不同检查策略,进而理解问题中各数学表徵的关系.在验算有问题时,透过怀疑,检查,判断的过程,更能强化学生对数学确定性与内在连结的认识.验算习惯的养成,也能让学生更专心与自信.
(13)为了贯彻将每一位学生带上来的目标,教师在教学时,应尽量以全体学生学好数学为目标,依据对学生的评量,因材施教.针对未能达成阶段性目标(例如:小四整数加,减,乘,除直式计算,小五整数四则混合运算或小六分数四则运算),有待加强的学生,主管教育行政机关更应专款补助学校,做补强措施.
2.评量
(1)评量是检验教学效果的过程,教师应透过各种评量方式,来改善自己的教学.评量有多种方式,譬如纸笔测验,实测,讨论,口头回答,视察,作业,专题研究或分组报告等.教师宜视教学现场的需要,选择适切的评量方式.
(2)教学评量宜同时关照到学习成就与学习历程,分析学生是否能达到能力指标的要求.教师应以教材内容,教学目标与相关课程能力指标,订定评量的标准.教师不宜在教学评量中,出现困难度高的问题,因为教学评量并非常模参照类的考试,不该强调全班,全校的鉴别.细目诠释中所附之评量范例,可作为教师命题难度的参考.
(3)针对学童个人的评量结果,教师可以理解学生既有的知识与经验,也可从学生发生的错误,回溯其学习上的问题并加以辅导修正.针对全班评量结果的共通错误,可能反映教师本身教学上的疏失,并可据以改进.全校评量或全国检测之结果,则可能反映课程纲要的问题,教师可多做回馈,作为未来数学教育纲要修订的参考.
(4)评量时,应注意评量时机的选择,避免对评量结果做错误或不适当解读.评量学生的起点行为,可作为拟定教学计画之依据;评量学生的学习状况,可以及时发现学习困难,进行日常补救教学;评量学生最后学习所得,可作为学生学习回馈及辅导学生的参考.
(5)评量时,应配合评量的目的,让问题能恰当反映学生的学习状态,并让所有的评量题型,发挥该题型的特长.除了单一选择题与填充题以外的其他题型,均宜订定分段给分标准,依其作答过程的适切性,给予部分分数,并让学生理解其错误的原因.
3.教科书
(1)教科书的编写,应配合课程纲要之基本理念,课程目标与能力指标,以协助教师教学,家长辅导与学生(较高年级)自学为目标.
(2)教科书的编写,应注意整体结构的有机结合,在题材的呈现上,反映出各数学概念的内在连结.并且也应注意在取材上,能与其他数学主题,日常生活或其他学习领域的应用,做自然的连结.
(3)教科书的编写,应注意文字的使用,配合学生的阅读年龄.
(4)教科书的编写,宜在题材及情境上兼顾本土与国际性.
4.电脑与电算器
在当前的资讯社会里,电脑与电算器已被广泛使用於生活中.面对大量资料,如何处理并获取有用的资讯,已成为现代生活中的重要能力.教师应引导学生正面有效地使用电脑与电算器,来完成五大主题的学习.
基於以上的观点,提出下列看法:
(1)在学生学会基本四则运算与估算后,学生面对问题时,应逐渐养成从问题研判适当计算精确度的能力.当此能力成熟,就可慢慢引入计算的辅助工具,协助解题.至於牵涉到科学记数与误差的计算器使用,则以国中阶段实施为宜.
(2)学生应明白,电算器或电脑固然可以用来减低计算上的负担,但是仍然有各种错误的可能,因此仍然要有好的计算,估算甚至检查策略,来验证计算结果的合理性.
(3)学生在解决问题时,可以将其中大量重复,耗时又无意义的计算技术性处理,交给电脑来执行.
(六)附录
附录一分年细目诠释
分年细目诠释使用说明:
1.细目诠释的使用者是教师,教科书编者与审定者,因此内容在沟通表达上,涉及许多数学与数学教育的专有名词,这些名词不宜出现在教科书上.诠释中对於不宜出现在课本或教学中的名词均有加注.如1-a-01中的「交换律」一词就不宜出现在四年级(包括四年级)以前的课本与教学中.
2.必须出现在教科书中的标准用词请参见本纲要附录四.
3.诠释中的范例,目的在厘清细目的意义.教师课程设计或教科书编撰,应遵循分年细目及其诠释的内容,但不需要完全遵照细目的顺序.细目及其诠释所规范的内容是至少要包括在教学与教科书中的题材.
4.「检查细目」可以并入其他主题的教学,不一定要另立单元(或章节).
5.部分概念如:验算,估算及各种基本运算的性质等,在某条细目引入后,就应该贯穿往后的课程.我们希望学童在较小数字的自然情境,就能开始学习验算,养成换一种方式或观点算算看的习惯.基本运算的性质,如:交换律,结合律,递移律等名词,不必在课本出现,但应该从具体情境的范例及练习中,让学童自然地认识这些性质,并在往后的学习中,不断地加强及熟悉.
6.诠释中有些讨论活动或概念的初次引进,目的都只是在提供学童经验,铺陈往后的学习,因此并不适合做评量,这些都会在诠释中,特别以「※不宜评量」标明.
1.一年级细目诠释
数与量
1-n-01
能认识100以内的数及「个位」,「十位」的位名,并进行位值单位的换算.
N-1-01
说明:
( 非负整数的认识是学童最早接触的数学教材,教学时宜让儿童能初步掌握整数数词序列的规律,并能以具体的量,声音,图像,数字,进行说,读,听,写,做的活动,表徵100以内的数.
( 数数活动较熟练后,可配合其他课程,做各式各样的活动.例如:分类数数与记录活动(参见1-d-02),第几个的活动(参见1-n-03),简单买卖活动(参见1-n-02).
( 数字「87」是指8个「十」和7个「一」,其中8所在的位置即为「十位」,其位值单位为「十」;7所在的位置即为「个位」,其位值单位为「一」.
( 位值单位的换算,宜先引导学童用教具,如:数学积木,花片,做十个一堆的点数活动.其中钱币由於日常生活常用,更是适合位值换算的教学(参见1-n-02).例:
「小真有4个『十』元与16个『一』元,是多少元 」,先理解16个「一」元,可以换成1个「十」元与6个「一」元;再和4个「十」元合起来是5个「十」元与6个「一」元,记成「56」,小真有56元.
1-n-02
能认识1元,5元,10元等钱币币值,并做1元与10元钱币的换算.
N-1-01
说明:
( 钱币的使用,是学童学习加减法最自然的生活情境,应多运用.例如:做简单的买卖活动,可以提高学童学习数数与位值换算的兴趣.底下○10表示10元硬币,以此类推.
例: 「一个娃娃卖55元,小娟有15元,她还要几个○10才够买一个娃娃呢 」
「小强有22元,想要买一个55元的铅笔盒,妈妈要给他几个○10才够 」
「小真有60元,她可以买几张5元邮票呢 」
「小杰原来有14张5元邮票,他再拿40元去买每张5元的邮票.现在他有几张邮票 」
「小琪想买65元的飞机模型,她原来有10元,妈妈又给她一个○50.她的钱够不够买呢 」
「小薇想买65元的飞机模型,她原来有25元,爸爸又给她一个○50.她的钱够不够买呢 」
( 点数不同面额的钱币组合,可以让学童练习不同的点数方式,题目设计上可以配合2个一数,5个一数及10个一数的练习(参见1-n-07).
( 进行钱币换算的教学时,最重要的是10元与1元的互换,要先进行教学.并在所有钱币与1元的互换基础上,慢慢理解10元相当於两个○5.
( 一年级进行钱币的使用教学时,可给定一物品的金额让学童付钱,例如:怎麼付钱可以刚好买一个25元的三明治 可以让学童尝试不同的组合方式,以与1-n-04互相加强.例:
「买25元的鲜奶,怎麼付钱才会刚好 」
(1)下图是小强的钱包,小强可以拿几个○10和一个○5买鲜奶
(2)下图是小真的钱包,小真可以拿一个○10,两个○5和几个○1买鲜奶
(3)下图是小琪的钱包,小琪可以拿几个○5和十个○1买鲜奶
( 利用钱币做位值换算的教学(参见1-n-01).
1-n-03
能运用数表达多少,大小,顺序.
N-1-01
说明:
( 数的比较含有数量和序数两种情形,因为数概念比较抽象,可藉由「量」的情境下进行,例:5枝铅笔比4枝铅笔多,小强排队排在第3个位置.
( 教学沟通上要注意序数(第几个)是有方向性的,必须先讲清楚从哪里开始数;另外也要注意「8前面(或后面)是什麼数 」,「6向上(或向下)数是哪一个数 」这类问题,本身有语意沟通的歧义,需和学童沟通一数前后,上下的意思.
( 建议在一年级起就开始将数的序列图像化(参见下图),和数数活动结合.简易数线的数数可配合课程持续进行.教师不需拘泥於「第1」,「第2」的标示,反而造成学生自然学习的障碍.
( 在此后的数与量教学中,都要进行比较大小的活动.
1-n-04
能从合成,分解的活动中,理解加减法的意义,使用+,-,=做横式纪录与直式纪录,并解决生活中的问题.
N-1-02
A-1-01
说明:
( 在一年级的加减活动著重在数数活动与合成分解活动的过渡,以及后者的熟悉.
( 学习加减法,数量不宜过大,但亦不限於一位数.其数量范围应限制在如:基本加减法,十几加几(一位数),十几减几(一位数),二位数加二位数(不进位),二位数加一位数(进位),二位数减二位数(不退位).
( 从一年级上学期开始引入,基本加减法应在一年级的下学期完成其熟练.(心算练习,参见1-n-05).
( 在一年级学习将合成分解活动的结果,写成加减法的横式纪录与直式纪录.例如:7颗苹果和3颗苹果合起来是10颗苹果,可以记成7+3=10;或7颗苹果中吃掉3颗苹果剩下4颗苹果,可以记成7-3=4.教师在教学中应积极建立学童等号为计算结果之意义.
( 一年级的直式纪录只是提供直式计算的前置经验,没有计算意涵,可在一年级下学期才引入.
( 合成分解活动十分自然,在教学上不必特别区分,让学童在具体情境与解题中,认识加法与减法的互逆关系(参见1-a-02).
( 加减的生活问题中,先固定一数再加(或减)一数的类型最简单.例:「母鸡第一天孵出3只小鸡,第二天孵出2只小鸡,一共孵出几只小鸡 」,「小玲有8张卡片,用了2张,剩下几张卡片 」
( 但其他问题类型也应在一年级中练习.例:
「教室里有2个小朋友在看书,6个小朋友在画图,一共有几个小朋友 」
「王伯伯从百货公司的6楼向上走1楼到书店,书店在几楼 」
「排队领作业簿,小强的前面已经排了5个小朋友,小强排在第几个 」
「小强排在第6个,小玲和小真接著排在他后面,小真排在第几个 」
「18个小朋友,一人分一顶帽子,还剩下3顶帽子,帽子原来有几顶 」
「桌上有一些饼乾,弟弟吃掉了6块,还剩下4块,桌上原有几块饼乾 」
「8个小朋友打扫教室,5个人扫地,其他的人拖地.有多少个人在拖地 」
「牛奶糖一盒要12元,小杰有5元,小杰还需要多少钱才能买一盒牛奶糖 」
「一个盒子可以装36颗巧克力,已经装了15颗,再放进去几颗就可以装满 」
「排队买票,张叔叔排在第17个,李阿姨排在张叔叔前面第5个,李阿姨排在第几个 」
「电梯从5楼到6楼,电梯走了几楼 」
「盒子里有17颗弹珠,拿走几颗后,盒子里剩下8颗弹珠 」
「16个小朋友,一人吃一枝冰棒,有4人没有吃到,冰棒有多少枝 」
「班上有男生14人,女生17人,男生多还是女生多 多几人 」
「小娟有4枝彩色铅笔,小丽比小娟多3枝,请问小丽有几枝彩色铅笔 」
「姊姊有15元,弟弟的钱比姊姊少5元,弟弟有多少钱 」
( 在前述问题的教学中,让学童掌握使用教具(如花片)或画圈圈来理解这些问题的结构,并协助解题.让学童在合成分解的活动或表徵情境里,慢慢掌握横式纪录的意义.
( 在恰当教学时机,应让学童理解某数+0与-0,其结果不变的事实.
( 在加减法教学中,若要检查儿童对所给定的加减算式是否理解,可让学童练习拟出对应的生活应用情境.
1-n-05
能熟练基本加减法.
N-1-02
说明:
( 本细目目的在养成学童心算的能力和习惯,作为日后计算的基础.
( 熟练的意思是,能够不透过数数就知道答案.
( 基本加减法包括:(1)加1与减1;(2)加10与减10;(3)合10与拆10;(4)被加数与加数为一位数的加法(例:4+8=12);(5)前者之逆运算(例:12-8=4).
( 例:可用心算卡配合游戏进行基本加减法,合十,拆十等练习,或从最简单的逐次加一,逐次减一,逐次加十,逐次减十的心算开始.
( 可利用下列填空题加强基本加减法的熟练:3+□=9;□+7=15;10-□=7;□-4=8.此处并非加减互逆之教学,而是熟练基本加减法之练习.
( 教师在基本加减法可以使用的情况或问题中,可鼓励学童使用心算.从一年级上学期开始引入,基本加减法应在一年级的下学期完成其熟练.
( 但是这不表示一年级的加减法问题仅限於基本加减法,例如:学童还是要会用数数或其他合成分解的策略来解决问题.例:
「29+3= 」,「21-4= 」,可以用向上数或向下数的策略解题.
「18+21= (不进位)」,「53-22= (不退位)」,可以将题目中的各数分解成几个十和几个一,先算有几个「一」,再算有几个「十」.
「14+7= (进位)」,可以将题目中的被加数分解成几个十和几个一,将被加数的几个「一」和加数的几个一相加,如:4+7=11(这是基本加法的范围),再将其结果加上被加数的几个「十」,如:11+10=21.
1-n-06
能做一位数之连加,连减与加减混合计算.
N-1-02
说明:
( 本细目之目的在熟练基本加减法(参见1-n-05),由於学童刚学加减法,在一年级只做一位数的连加算式运算即可.此时加数与减数的个数不宜太多,三个以内为限.
一年级学童在计算连加或连减的计算时,可以练习调整顺序,灵活的计算,例如:
三个数连加:1+5+9可以先算1+9=10,再算10+5=15.
三个数连减:18-9-8可以先算18-8,再算10-9=1.
( 有关加减混合计算的部分,在本年级建议仍依照算式中数字出现的顺序来做.
1-n-07
能进行2个一数,5个一数,10个一数等活动.
N-1-01
N-1-04
说明:
( 进行2个一数,5个一数,10个一数等活动为乘法的前置活动.
( 运用花片之类的教具进行几个一数的过程,排成整齐的行列形状,可作为乘法「阵列模型」的前置经验(参见2-n-06,2-a-03).
( 例:利用百数表教具,进行几个一数的数数活动,将数过的数,圈出来或罗列成简单数列.可以让学生观察上述从百数中圈出来的数列,得到下列结果:
2个一数时,个位数字会重复出现2,4,6,8,0.
5个一数时,个位数字会重复出现5和0.
1-n-08
能认识常用时间用语,并报读日期与钟面上整点,半点的时刻.
N-1-11
说明:
( 先进行几个事件发生先后顺序的辨识活动.
( 能使用常用时间用语,如上午,中午,下午或今天,昨天,明天,并知道其先后顺序.
( 能查阅日历,月历或年历上的日期,知道今天是「几月几日星期几」.
( 能认识钟面上的长,短针,并报读时钟上常用的时间刻度,在一年级只做整点或半点的报时.如「1点钟」,「3点半」.
( 能依据钟面图报读指定时刻的前,后1(或2)小时的时刻.例如:「小娟8点起床,2小时后是几点 看著钟面图做做看.」
1-n-09
能认识长度,并做直接比较.
N-1-08
S-1-01
S-1-03
说明:
( 能透过观察,操作,认识「长」,「短」,「高」,「矮」的含意,学会比较物体的长短,高矮的方法.
1-n-10
能利用间接比较或以个别单位实测的方法比较物体的长短.
N-1-08
说明:
( 量的教学请参见附录一中「量与实测」的主题说明.
( 这边的个别单位不见得是常用单位(例如:手臂长,掌幅,纸条,回纹针等都可作为个别单位).
( 长度是国小最早学习的量,具有量之学习的指标作用,而且又是数线与小数概念的入口,教师务必小心处理此细目,完成利用个别单位测量与距离观念的连结.例如:可以要求学童以一步为单位,测量距离(步数),让学童知道可利用「单位」来量度「距离」.
( 在本细目中也应处理以个别单位为基础的长度合成分解活动,作为长度加减(参见2-n-15)与数线加减(参见3-n-09)的前置经验.例如:
「将一条长绳对摺后,用积木测量,量出来对摺后的长度和5条积木一样长,把对摺的绳子打开,这条绳子的长度有「5+5」条积木长.」
「用积木测量水桶开口一圈的长度,大概有9个积木长,水桶的把手大概有5个积木长,水桶开口一圈比水桶把手大概多了「9-5」条积木长.」
( 重点是学童能将合成分解的经验,加减运算,与长度比较的经验连结起来.
几何
1-s-01
能认识直线与曲线.
S-1-01
说明:
( 从具体活动的操作中,知道连结两点(手指)间的线(绳子),以直线为最短.例如:
「在一条木条上的两端挂上绳子,绳子下垂成一弧线,让学生观察木条和绳子,那一个比较长 」
1-s-02
能辨认,描述与分类简单平面图形与立体形体.
S-1-01
说明:
( 在此时期,只要诉诸学童之几何直觉即可,不必强调其构成要素.在名称的沟通上,可以先让学童随意发挥,启发学童对图形结构的体验,教师再归结到常用的名称,并做合理的说明(不需要拘泥在严格的定义).
( 简单平面图形,如:圆形,三角形,正方形,长方形等;简单立体形体,如:球体,正方体,长方体,圆柱体等.
( 本细目可以与其他分类与数数的教学活动相结合,例如:1-d-01,1-d-02.
1-s-03
能描绘或仿制简单平面图形.
S-1-02
说明:
( 例:以涂色或套描进行描绘活动或其他组合活动.
( 学童的肌肉还不能做细密的协调,不宜做精确的要求.只是在仿制活动中,体验平面图形的结构特徵.
1-s-04
能依给定图示,将简单形体做平面铺设与立体堆叠.
S-1-02
说明:
( 本细目的目标在经验空间感与全等操作,可整合成一教学活动.
( 给定的图示可为图卡或实物,透过拼图与堆积木等活动,让学童进行平移,翻转,重叠,比对…操作.
( 本细目让学生体认全等的经验意涵,是日后几何学习的基础.但「全等」一词在一年级教学现场不应出现.
代数
1-a-01
能在具体情境中,认识加法的交换律.
A-1-02
说明:
( 本细目为「检查细目」,可以并入整数教学单元(或章节)中进行(参见1-n-04),不一定要另立单元(或章节)教学.
( 例:小明左口袋有3颗糖,右口袋有4颗糖,要计算总量时,知道不论左口袋加右口袋得3+4,或右口袋加左口袋得4+3,结果都一样.学童也可能在合成分解活动中,理解此事实.
1-a-02
能在具体情境中,认识加减互逆.
A-1-03
说明:
( 本细目为「检查细目」,可以并入整数教学单元(或章节)中进行(参见1-n-04),不一定要另立单元(或章节)教学.
( 儿童在合成分解的情境中,了解7个花片和6个花片可以合成13个花片,也知道13个花片拿掉6个剩下7个花片,13个花片拿掉7个剩下6个花片.
( 例(参见1-n-04):「小华有5元,牛奶糖一盒要12元,小华还需要多少钱才能买一盒牛奶糖 」虽然这个问题的叙述是一个加法型的问题,但是欲求的答案并不是和,学童透过合成分解之解题活动得到答案是7,同时进一步知道12-5之答案也等於7,而获得原题目之求解可以透过12-5之运算得到答案之经验.
( 例(参见1-n-04):「桌上有一些饼乾,弟弟吃掉了6块,还剩下4块,桌上原有几块饼乾 」
( 例(参见1-n-04):「盒子里有17颗弹珠,拿走几颗后,盒子里剩下8颗弹珠 」
( 暂不强调较形式层次的加减互逆(参见2-a-04),但可做练习.
( 加减互逆为等量公理的一种表现形式.
统计与机率
1-d-01
能对生活中的事件或活动做初步的分类与记录.
D-1-01
说明:
( 让学童自由发挥,允许学童多元的分类与记录方式,只要能够将资料加以整理即可.
( 例:班上同学的早餐种类纪录;班上同学的出生月份;对给定不同颜色色纸的分类;班上同学最喜欢卡通的纪录;班上工作分配的人数列表;几何形体教具的分类(参见1-s-02).上课的课表,也是一种表格纪录的方式,应鼓励学童制作.
( 例:利用班级资源回收活动做初步的分类与记录活动.
1-d-02
能将纪录以统计表呈现并说明.
D-1-01
说明:
( 让学童将分类与数量的纪录,制作成表格式统计表.
( 例:将班级资源回收纪录以统计表呈现并说明.
( 例:小强利用下列其中一种表格将书包里面铅笔,剪刀及书本的个数记录下来.
2.二年级细目诠释
数与量
2-n-01
能认识1000以内的数及「百位」的位名,并进行位值单位换算.
N-1-01
说明:
( 参见1-n-01,1-n-02.
( 新增位值单位为「百位」,并认识100,10和1彼此之间的关系.
( 学生可以使用已习得的整数的读音和记法来类推新数量,不过教师在引进新数,建立数词序列时,须注意学生对於不可类推的数字,例如:99→100→101(过百),109→110→111(过十)…的相关学习活动.
( 此时位值单位的换算可让学童进行如4个「百」16个「十」可以换成5个「百」6个「十」,也就是560个「一」,记成「560」.
( 学童在二年级宜逐渐脱离以点数具体物件来认识所有数的习惯,应能弹性结合位值与局部数数,作为计算上的一种策略,例如:用数数计算「199+3」或「301-3」等.
2-n-02
能认识100元的币值,并做10元与100元钱币的换算.
N-1-01
说明:
参见1-n-02.
先认识钱币(1元,5元,10 元,100元)与1元的互换基础,慢慢理解10元相当於两个5元硬币,100元相当於10个10元等事实,进行钱币之间的换算,并让学童尝试点数不同钱币的组合.
2-n-03
能用表示数量大小关系,并在具体情境中认识递移律.(同2-a-01)
N-1-01
A-1-01
说明:
( 数量大小比较是基本的数感,本细目旨在建立的使用习惯.等号两边数量相等观念的学习,有助於学童建立良好的列式习惯,也是等量公理的前置经验.
( 在介绍「」的符号时,可让学童知道接近开口位置的数比较大,接近尖点位置的数比较小.
( 应有如下之问题,让学生知道数字和算式可出现在比较符号之两边,可加强学童对於意涵的理解.
例:在□中填入:
16 □ 14+12 11+13 □ 14 2+7 □ 4+5
( 「递移律」一词不应出现於教科书或教学中.
( 例:知道小明与小英的糖果一样多,小英和小华糖果一样多,那麼小明和小华的糖果就一样多.
( 例:从观察中知道小明比小华矮,小华比小英矮,所以小明会比小英矮.
( 例:从观察中知道马比大象轻,狗比马轻,所以三者中,狗最轻,大象则最重.
( 例:能说明为什麼小明的糖果比小英的糖果多,小华的糖果比小英糖果少,所以小明的糖果是三个人中最多的.
2-n-04
能熟练二位数加减直式计算.
N-1-02
N-1-03
说明:
( 在一年级只做加减法的直式纪录,并未说明其原理.二年级可运用合成分解,解释加减直式计算的原理,知道直式计算的书写方式是利用不同位值来表达数字的意义,并理解进位,退位的意义.建议可使用钱币或数学积木的情境,来教导加减法直式计算.
( 加减直式计算是具一般性的优越格式,但是教师仍应强调弹性使用其他加减策略的时机,避免让加减直式计算变成唯一垄断的解题方式.例如:除非是作为说明进位或借位的范例,否则在计算199+2或50-2时,可以用简单的数数,心算,分解即可解题,没有必要用直式来计算.
( 学习加减直式计算的顺序应由浅入深,从无进位,无退位的情况开始,直到双重进位之加法.由於双重退位的减法较难,在三年级才进行.在直式计算中,应多运用心算(参见1-n-05).可让学生做下列心算练习:
例:97+8可以把8想成3+5,所以97+8,可以先将97和3合起来是100,再做100+5是105.
例:103-7可以把100想成100+3,所以103-7可以用100减7再加3得到96.
( 运用相同的解释,学生也要能做连加的直式计算,并能够结合基本加减法与数序交换的习惯,灵活计算(参见2-a-02).这是日后乘法直式计算的基础.
( 采用从个位加起的直式计算法,主要的考虑在於计算的负担较轻,出错的可能性较小,而且加,减法都适用.
2-n-05
能理解三位数加减直式计算(不含两次退位).
N-1-02 N-1-03
说明:
( 以二位数直式计算的理解基础,可以轻易理解三位数的直式计算.但由於位数含百位,课程可安排在二年级下学期再进行教学.
( 在布题时,应注意类型之完备,即使是一次进,退位,也应包含个位进十位,十位进百位,百位退十位,十位退个位.让学生能领略二位数直式计算如何体现在三位数直式计算中.
( 二年级的减法虽然有不做两次退位的限制,但应该包含被减数为100,减数为一或二位数的减法,作为三年级两次退位减法的前置经验.
2-n-06
能理解乘法的意义,使用×,=做横式纪录与直式纪录,并解决生活中的问题.
N-1-04
A-1-01
说明:
( 乘法是小学整数教学的重点,其核心为排列模型的理解与九九乘法的熟练
(参见2-n-08).
( 在二年级里,应先以连加(参见1-n-06),几个一数(参见1-n-07)为乘法的前置经验.让学生认识乘法的意义,例如:2有4个,可以记成2×4=8,2×4表示2的4倍.学童应认识乘法算式中「被乘数」(单位量),「乘数」(单位数)及「积」(总和)的位置.
( 应从乘数较小的乘法开始练习,慢慢养成心算的习惯,然后开始练习九九乘法(参见2-n-08).虽然二位数乘以一位数的乘法不是二年级乘法教学的范围,但是也可以让学童练习如23×2的乘法,学童可以利用所学过乘法意义,透过23连加两次来求出答案,但建议乘数最多为3即可.
( 乘法的「倍」的意义,是乘法问题中最容易入手的一种.但乘法教学的常见困难也在於,用算式记录「倍」时是不对称的,而乘法却满足交换律,因此经常造成教学上的困扰.采用下列阵列型的乘法问题情境,可以协助孩子乘法交换律的学习,减轻这种困扰:
(1)先让学童用花片排成下图(例:5个一数).
(2)在「几的几倍」的解题活动中(这时的问题,例如:「1排学生有5个人,4排学生,有几个人 」),持续将学童的解题与排列模型连结起来.并将问题中的「单位」(例如:「排」)对应起来(例如:圈起来).
(3)用「5个人的4倍是多少 」之类的问题,来检查学童是否能直接从问题,将5个人视为一个单位.
(4)若(3)已检查,则可以用排列模型来讨论乘法交换律,这时学童应能从排列模型理解「5个人的4倍」与「4个人的5倍」一样多.
(5)在这段教学过程中,如果教师想确定学童是否了解题意,可以暂时要求学童加上物体的计数单位(例如:5颗×4=20颗)
( 教师应领会排列模型之於乘法,与合成分解模型之於加减法,是最本质又互相融洽的两个模型,在解题,概念理解,掌握运算性质(参见2-a-03, 3-a-01),推理上都有相当多的好处.因此在教学上要有意识地向排列模型过渡.乘法的「倍」的意义不是乘法意义的全部.教师要确定的是在解题情境中,学童能正确地说明其算式的意义,但是在解题的程序上,终究要允许学童运用任何策略来计算.举例来说,「一枝笔3元,24枝笔要多少钱 」,学童应能依照约定列出「3元×24」或「3×24」,但若学童理解交换律,在计算时将问题转换成「24×3」,并用连加法24+24+24=72,应视为正确(假设学童还不会乘法直式计算),这比让学童将3连加24次,更值得鼓励.
( 二年级的乘法直式纪录只是提供直式计算的前置经验,没有计算意涵,可在二年级下学期才引入.
2-n-07
能在具体情境中,进行分装与平分的活动.
N-1-05
N-1-06
说明:
( 这是除法的前置活动,学童可能透过操作,连减,连加或乘法的策略解题,但最后仍应让学生认识分装和平分的问题和乘法的关连(因此分装与平分问题中的数量应在九九乘法的范围内).暂时不引入含除号的纪录,并只处理能分尽(无余数)的情形.
( 在进行分装和平分的活动时,应将乘法和除法的关系连结起来.例如:
在进行「12个小朋友搭碰碰车,1个车厢最多坐4人,可以坐满几个车厢 」 的解题时,也要同时进行「1个车厢最多坐4人,3个车厢可以坐满几人 」 的解题.
( 「分装」的活动,指如「12个杯子,2个杯子装一盒,可装几盒 」的问题.
( 「平分」的活动,指如「24个男生睡在3个帐篷里,每个帐篷里的人一样多,一个帐篷里有几个男生 」的问题.
2-n-08
能理解九九乘法.
N-1-06
A-1-02
说明:
这里所谓九九乘法,包含乘数或被乘数是10的情形.
学习九九乘法不宜在短时间要求学生硬背,应将九九乘法的教学分别安排在二年级上,下学期,并考虑学生可能的经验(例如:学生较熟悉的2个一数,5个一数或10个一数,因此先进行被乘数为2,5,10的乘法,接著从累加上比较容易计算的数,例如:被乘数为4的乘法,最后再进行被乘数为3,6,9,7,8的乘法),像这样分阶段的教学,一方面深化学生学习乘法的意义,「倍」的使用,认识不同乘数在乘法表的模式差异,交换律的观察等.这些都是完整数感的部分.
学童透过阵列模型的乘法问题情境,认识乘法可以交换的性质,进而可以利用交换律来学习新的九九乘法.例如:学童先学到2×3和3×2的结果一样,在后续学到7×4时,就可以利用交换律,以先前学过的4×7来找出答案.
2-n-09
能在具体情境中,解决两步骤问题(加与减,不含并式).
N-1-07
说明:
( 从日常生活情境中,引入两步骤问题(加与减).学童在解两步骤问题时,应能将各步骤分开记录列式,二年级时不处理并式的问题.
( 例1:「用20公分的尺量一条绳子,刚好量了3次,绳子长几公分 」
( 例2:「一条铁丝先用去25公分,再用去20公分,还剩下15公分.铁丝原来有多少公分 」
( 例3:「学校课辅班原来有67个小朋友,五点钟时走了35位小朋友,六点钟时又走了25位小朋友,还剩下几位小朋友 」
( 例4:「有一辆公车上有35位乘客,到站时,从前门下去9位乘客,后门上来4位乘客,车上现在有几位乘客 」
( 例5:「小强有30元,哥哥有25元,小英有60元,小强和哥哥的钱合起来比小英少几元 」
( 学童应能从合成的模型知道连加的结果与加的顺序无关,并能善用这个想法来解决第1例的问题,也能运用这个想法来做一般的连加直式计算.这是利用计算律可以帮忙解题的第一次经验,学童应该从教师的布题中认识到,解题时不是一味的计算,有时要先做某种判断.
( 第2,3例中,如果利用恰当的计算律,也可以较容易解题,但在二年级暂时不需强调,学生能依自己的步骤解题.若现场有时间,教师可以作为讨论的题材,但不该作为二年级的评量(※不宜评量).
2-n-10
能在具体情境中,解决两步骤问题(加,减与乘,不含并式).
N-1-07
说明:
从日常生活情境中,引入两步骤问题(加,减与乘).学童在解两步骤问题时,应能将各步骤分开记录,二年级时不处理并式的问题.
例:「一盒麻糬有8粒,3盒又2粒共有多少粒麻糬 」.一开始,学童先学习读懂题意,分段解决这个问题,如先算3盒有几粒(8×3),再加上2粒(24+2).
例:「一盒毽子有7个,合作社里原有3盒,卖了19个后,还剩下几个 」
例:「扯铃55个,10个装成一盒,装了5盒后,还剩下几个 」
例:「把一些麻糬分装在7个盒子里,每盒装6粒,还剩下4粒,原来有多少粒麻糬 」
例:「把一些糖果平分给9个小朋友,如果每人分6颗,就不够4颗,糖果有几颗 」
例:复习时钟的报读,给定一个钟面时刻(如:3时47分),让学生练习用先乘后加,如5×9=45,45+2=47两个步骤列式算出钟面分针的时刻.
例:「一枝铅笔10元,小强买了8枝,付了100元,可以找回多少元 」
例:「一盒水果软糖中,橘子口味的有5颗,柠檬口味的有3颗,小玲买了6盒,请问小玲共有多少颗水果软糖 」,这个问题可以先算每盒有5+3=8颗软糖,再算总共有8×6=48颗软糖.
例:「果汁一瓶原来卖20元,今日特价15元,爸爸买了6瓶,省了多少元 」
例:「6队小朋友参加趣味竞赛,每队有2个男生和4个女生,男生比女生少几人 」
2-n-11
能做简单的二位数加减估算.
N-1-02
说明:
估算教学请参阅附录一中「估算」的主题说明.
估算是比较高层次的数学能力,在教学时,首先应确定学童有正确计算的能力,并透过恰当的问题,来训练学童的估算能力,让学童在日常应用中,能有判断的依据.教师应以恰当的问题引导,让学童深刻认识估算的好处,以提高其学习动机与成效.
教师不宜在评量时,直接要求标准答案,也切忌认为使用正确计算的学童是错误的.
例:「32+49=( ),下面的3个数中,那一个最接近正确的答案 70 80 90」由於32大概是30,49大概是50,30+50的答案大概是80.
例:「71-29=( ),下面的3个数中,那一个最接近正确的答案 30 40 50」由於71大概是70,29大概是30,70-30的答案大概是40.
本细目只是四舍五入教学之前置经验,个位数限於8, 9, 0, 1, 2.
2-n-12
能认识钟面上的时刻是几点几分.
N-1-11
说明:
( 1-n-08的时钟报读是以「半个钟头」为单位.二年级先认识钟面上的刻度一大格是5分钟,由「5个一数」,知道钟面上的数字所对应的几分时刻.再认识钟面上的1小格是1分钟,结合五个一数和一个一数,进行钟面时刻的有效报读.
( 在报读钟面时刻的活动中,让学童观察钟面,做「7点55分的时针接近8,但还不到8点」,「8点5分是时针接近8,但超过8点」的练习,协助学童掌握时针所在位置代表的正确数值.
( 能观察钟面图点数两个时刻之间的时间.例如:
「爸爸早上7点从台北搭车出发,9点到达台中,从台北到台中,爸爸花了多少时间 」
2-n-13
能认识「年」,「月」,「星期」,「日」,并知道「某月有几日」,「一星期有七天」.
N-1-11
说明:
( 学童藉查看年历,认识一年有12个月,以及各月的日数,每星期的日数.
( 例:藉由查看月历,计算7月加8月的总日数.
( 例:藉由查看月历,知道如何计算暑假的天数.
( 例:知道每月至少有(大概有)4星期.
2-n-14
能理解用不同个别单位测量同一长度时,其数值不同,并能说明原因.
N-1-08
说明:
( 这是单位换算的前置经验,透过合成分解的活动,理解不同单位间换算的模式(亦称「化聚」).
( 例:请小朋友拿出一枝笔来量一量老师的桌子有多高,量出来书桌的高度分别和「小强的8枝铅笔」,「小娟的6枝铅笔」一样高.学童对於「8」和「6」的不同,应能说明是因为小强铅笔的长度和小娟铅笔的长度不同.并且知道6之所以小於8的原因,是因小娟的铅笔长度大於小强的铅笔长度.
( 例:小英说:「我家冰箱有4条红绳那麼高」,小华说:「我家冰箱有7条蓝绳那麼高」,谁家的冰箱比较高呢 学童应理解小英,小华应该用一样长的绳子量冰箱,才能比较谁家的冰箱比较高.这只是讨论题,不该作为二年级的评量.(※不宜评量)
2-n-15
能认识长度单位「公分」,「公尺」及其关系,并能做相关的实测,估测与同单位的计算.
N-1-08
N-1-09
说明:
( 量的教学初期应避免同时引入两个量.建议在二年级上学期,介绍「公分」并做实测,估测与计算.下学期再介绍「公尺」,除了实测与估测外,也引入单位换算与相关计算.
( 学童在认识「1公尺=100公分」的关系并理解其意义后,知道可利用单位换算,记录测量值.例如:小明的身高为123公分,也可以记成1公尺23公分.
( 认识刻度尺上的刻度结构是学童建立1公分量感的入口,可引导学童测量身体的部位,如量身高,手指的宽度,作为以后公分量感估测的基础.
( 刻度尺的使用应注意「对齐0」,再报读尺上对应的数字,此时不强调毫米的刻度,仅就公分刻度做判读.所测量物体如果不是整数公分单位,则以「大约多少公分」做报读.
( 可引导学生讨论:如果是一把断掉的尺,无法从0对齐时,若所测量的物体是从刻度5到8,则这个物体有3公分长,亦即5到6是1公分;6到7是1公分;7到8是1公分;共3公分.而非点数尺上的数字5,6,7,8,长度为4公分的迷思概念.
( 例:「用20公分的尺量一条绳子,刚好量了3次,绳子长几公分 」(参见2-n-09)
( 例:「一条铁丝先用去25公分,再用去20公分,还剩下15公分.铁丝原来有多少公分 」(参见2-n-09)
( 例:「用10公分的尺量桌子的边长,刚好量了6次.桌子的边长是几公分 」(参见2-n-06).
( 例:「黑绳有175公分长,红绳是黑绳的2倍长,红绳长几公分 」(参见2-n-06).
( 量的估测活动不是实测的近似值,而是培养量感的活动,原则上,在不使用正式测量工具的条件下,「估测」量的大小,因此量的估测与量的经验很有关系.有好的量感,对日常生活很有助益,但是估测教学就数学课程而言并不宜过度评量.(※不宜过度评量)
( 做估测活动时,应注意单位的合理性.例如:二年级的学童只学过整数,因此用公尺来估计人的身高并不合适,但是如果结合公分,则为适当.
( 例:学童可以用目测,估计自己的指幅(如食指的宽度大约1公分)和掌幅(手掌张开,拇指至小指张开的长度大约10公分)有多少公分.
( 例:估计自己的身高(也可以用生活中常见的物品,如:教室中的扫把,书桌等)比1公尺长或短.
( 能从具体情境中,认识长度的递移关系.例:从观察中知道小明比小华矮,小华比小英矮,所以小明会比小英矮.
2-n-16
能认识容量.
N-1-10
说明:
( 量的教学请参见附录一中「量与实测」的主题说明.
( 容量是和长度一样,是既容易学习,又和数学教学有密切关系的量,在分数和小数的学习上都会自然用到容量.
( 本细目是认识容量的起点,应包含容量的直接比较,间接比较,以及个别单位的教学内容.
( 本细目为3-n-15引入容量常用单位之前置经验.
2-n-17
能认识重量.
N-1-10
说明:
( 量的教学请参见附录一中「量与实测」的主题说明.
( 小学所学的七种量中,「重量」,「时间」是比较不一样的量,其他五种量都与视觉或几何感有关,较适合做直接比较.但是「重量」完全依赖於身体的感觉,因此所谓直接比较,顶多只能用手(单手测量两次或左右手同时)经验重物与轻物的差别,而且两物的重量不宜过近.
( 本细目是认识重量的起点,为了弥补以身体感觉学习重量之不足,重量之教学应早早引入天平的教学(由学童基於对称性之直觉,相信天平两边的物品重量相等),作为重量的直接比较.并由此学习重量的间接比较和个别单位.
( 能从具体情境中,认识重量的递移关系.例:从观察中知道大象比马重,马比小狗重,所以大象会比小狗重.
( 本细目为3-n-16引入重量常用单位之前置经验.
2-n-18
能认识面积.(同2-s-04)
N-1-10
S-1-03
说明:
( 量的教学请参见附录一中「量与实测」的主题说明.
( 本细目是认识面积的起点.「面积」一词建议不出现在教学与课本中.由於面积是几何量,可以用视觉来做比较.不过做面积的直接比较时,应只处理一图形包含於另一图形的情形,不宜处理无法包含的情况.
( 面积的个别单位应只处理最简单而重要的情况:正方形或长方形的个别单位.其他图形则应只作为较进阶的补充题材.
几何
2-s-01
能认识周遭物体上的角,直线与平面(含简单立体形体).
S-1-03
说明:
( 例:指出平面图形的角,边的位置与个数,并能使用「角」,「边」的名词与人沟通.
( 例:应进行在简单立体形体中(参见1-s-02),认识「顶点」,「边」与「平面」的教学活动.
( 例:由面的大小比较,知道正方体的每个面都一样大.
( 例:由边长的比较,知道正方体的每个边长都相等.
上述二例不是要定义正方体,只是简单的藉由比较活动知道正方体的面与面,边与边的关系.
2-s-02
能认识生活周遭中平行与垂直的现象.
S-1-04
说明:
( 透过观察长方形,正方形,直行信纸,各式窗格,栏杆,梯子等,认识垂直与平行的现象.希望学童能注意到窗格垂直与切蛋糕四等分的方式相同,平行大致上是宽度相同的意思,从窗格观察到垂直与平行间的关系.
2-s-03
能使用直尺处理与线段有关的问题.
N-1-08
S-1-02
说明:
( 能使用直尺画出指定长度的线段.单位限「公分」,指定画出线段的长度应小於学童所用直尺的长度.
( 能画出两点间的线段,并测量两点的距离,测量距离应小於15公分.学生应知道两点间的距离就是该线段的长度.
( 基本上在学习使用直尺画线.由於学童手部肌肉尚未发展成熟,教师不宜过度评量.(※不宜过度评量)
( 使用直尺画线段,可以让学童体会两点决定一直线,并可度量其距离的事实,但在教学上不必提及这些性质.
2-s-04
能认识面积.(同2-n-18)
N-1-10
S-1-03
2-s-05
认识简单平面图形的边长关系.
N-1-08
S-1-01
S-1-03
说明:
( 由实测边长,知道正方形的四边相等,长方形的两对边长相等,正三角形的边长相等,等腰三角形的两腰相等.
( 以上的专有名词(对边,等腰三角形,腰)在教学上不应出现.
( 此细目不是要定义平面图形,只是简单的藉由实测知道一些常见几何图形的边长性质,这些图形都有明显的对称性质,学童较容易掌握其特徵.
代数
2-a-01
能用表示数量大小关系,并在具体情境中认识递移律.(同2-n-03)
N-1-01
A-1-01
2-a-02
能在具体情境中,认识加法顺序改变并不影响其和的性质.
A-1-02
说明:
( 本细目为「检查细目」,可以并入整数教学单元(或章节)中进行,不一定要另立单元(或章节)教学.
( 从分解合成的模型可简单认识这个性质,这个性质是加法运算的精髓,是交换律的深化.事实上交换律与结合律都是这个性质的展现.
( 作为代数运算公设的结合律,在教学上并不自然.只要学生认识加法顺序并影响和的性质,自然能理解结合律.
( 例:「小明有3颗糖,小华有4颗糖,小丽有7颗糖,合起来共有多少颗糖 」,学童可以在具体情境中发现,可以先算3颗糖和7颗糖合起来有10颗,再算和4颗合起来有14颗.
2-a-03
能在具体情境中,认识乘法交换律.
A-1-02
说明:
( 本细目为「检查细目」,可以并入整数教学单元(或章节)中进行,(参见2-n-06,2-n-08),不一定要另立单元(或章节)教学.「乘法交换律」一词建议不出现在四年级(包括四年级)以前的教学与课本中.
( 学童在解「一排有7个人,4排有几个人 」的问题时,他可以看成一排有7个人,有4排,得7×4;或一列有4个人,有7列,得4×7,结果都一样(参见2-n-06).
( 认识乘法交换律以后,知道九九乘法表中有一半的乘法事实可以透过交换律得到(参见2-n-08).
2-a-04
能理解加减互逆,并运用於验算与解题.
A-1-03
说明:
( 本细目为「检查细目」,可以并入整数教学单元(或章节)中进行(参见2-n-04),不一定要另立单元(或章节)教学.「加减互逆」一词建议不出现在教学与课本中.
( 与1-a-03的主要差别是,这里可以不再涉入具体情境,在心理上用比较形式的方式,应用加减互逆来解题或用加法做减法的验算.
( 例:「小英有65元,想买一个90元的布偶,不够多少元 」这是一个加法形式的问题,藉由加减互逆的理解,知道这个问题可以用减法来算,得90-65=25(元).
( 例:「小玉买了一个65元的熊宝宝后剩下25元,小玉原来有多少元 」这是一个减法形式的问题,藉由加减互逆的理解,知道这个问题可以用加法来算,得65+25=90(元)
( 引入下列题型,作为学童练习「加减互逆」的题型.例:18+( )=27;22-( )=14;( )+12=30;( )-25=10.学童不了解如何解题时,教师可以提供具体的解题情境,让学童运用在具体情境中的解题方式,但绝对不要采用尝试法解题,最后必须熟练使用加减互逆的概念来计算( )中的数.
( 在加减互逆的学习里,可以依情境引入线段图的说明方式,让学生更理解加和减的关系.二年级时,线段图应只作为教学工具,由於学生还不适合作图,不宜要求学生自行绘制线段图.
3.三年级细目诠释
数与量
3-n-01
能认识10000以内的数及「千位」的位名,并进行位值单位换算.
N-2-01
说明:
( 参见1-n-01,1-n-03,2-n-01.
( 新增位值单位为「千位」,并认识1000,100,10和1彼此之间的关系,例如:知道「千」是10个「百」.
( 应认识1000元的钱币,并进行钱币组合点数及换算的活动(参见2-n-02).
( 能写出一个四位数的展开式,2067=2000+0+60+7.
( 能做四位数的大小比较,例:比较3006,3060和3600三个数的大小.
( 例:「用2,5,7写出一个三位数,数字不能重复,而且这个三位数要比700大.」
( 例:「用0,5,7,9写成的四位数,数字不能重复,最大的数是多少 最小的数是多少 」
( 在进行过十(如:从1327向上数4,个位会遇到要进位到十位的问题),过百(如:从2498向上数3,个位会遇到要进位到十位,百位的问题),过千(如:从3998向上数3,个位会遇到要进位到十位,百位及千位的问题)的点数活动时,可以采用数线模型来协助点数,此时不宜再点数成千成百的数学积木模型,而要透过数列样式来学习.
( 例:位值单位的换算可让学童进行如15个「百」可以换成1个「千」5个「百」,8个千2个百可以换成7个千12个百的活动.
3-n-02
能熟练加减直式计算(四位数以内,和1134万即可比出两数的大小.
4-n-02
能熟练整数加,减的直式计算.
N-2-03
说明:
参见3-n-02.
熟练加,减直式计算,是四年级的重要教学目标.原则上位数不应设限,但也不要过於繁琐,重点在於不让学童自我局限於较小位数的计算,并且有处理大数计算的经验.
例:也可练习简单的复名数式的加减法,例如:8万6千+9万7千,3万4千-9千,2亿960万-1亿4820万的问题.
教学上不宜练习大量高位数的直式计算,大数的处理必须结合概数才有用.
4-n-03
能熟练较大位数的乘除直式计算.
N-2-05
说明:
参见3-n-02,3-n-04,3-n-06.
原则上乘法以四位数乘以一位数,三位数乘以二位数与二位数乘以三位数为上限,这当然包括比上面更低的所有位数的乘法.
原则上除法以四位数除以一位数,三位数除以二位数为限.
在学习乘法直式计算的进程中,不鼓励学童用交换律,因为这个捷径,对掌握直式计算的算则并无好处.但除此之外,在一般解题与计算中,当然鼓励学童用自己比较能掌握的方法.
4-n-04
能在具体情境中,解决两步骤问题,并学习并式的记法与计算.
N-2-06
N-2-07
A-2-02
说明:
( 参见2-n-10,3-n-03,3-n-07,3-n-08.
( 并式在解题过程虽非必要,但是可作为日后代数学习的前置经验,并且也可以让学童理解四则混合计算的应用.在本细目中,应引入括号的使用,并让学童知道括号中的运算应先计算.
( 已经学过并式的两步骤问题有连加,连减,加减混合,尚未学习并式但已经学习过的两步骤问题是连乘,加乘混合,减乘混合,加除混合,减除混合的两步骤问题,这是本条细目要处理的重点.至於将两步骤问题列成连除与乘除混合的并式也在四年级时处理,但不涉及分配律,乘除混合及连除有关的运算性质,相关运算律及性质将在五年级中学习.
( 例:「红绳是蓝绳的2倍长,蓝绳是黑绳的3倍长,黑绳长15公分,红绳有多长 」,这个问题可并式记为15×3×2=45×2=90或15×(3×2)=15×6=120公分.
( 例:「一打铅笔有12枝,文具店有3打黄色铅笔,7打粉红色铅笔,拆开来放在笔筒里,共有多少枝铅笔 」,这个问题可并式记为12×(3+7)=120枝铅笔.
( 也要藉此复习「被除数=除数×商+余数」.例:「有一些饼乾,每12块装成一包,装了5包,还剩下10块,饼乾原来有几块 」,问题的解法可以列成5包共有12×5=60块饼乾,再加上剩下的饼乾60+10=70块饼乾.可并式记为(12×5)+10=70.
( 例:「一桶软糖有80颗,小真每天吃5颗,一星期后,还剩下多少颗软糖 」,问题的解法可以列成一星期共吃5×7=35颗软糖,80颗软糖,吃了35颗后还剩下80-35=45颗软糖.可并式记为80-(5×7)=45.
( 例:「爸爸买了两颗西瓜,分别重8公斤和10公斤,他一共付了432元,西瓜1公斤卖多少元 」,问题的解法可以列成先算共有几公斤的西瓜8+10=18公斤,再算1公斤要多少元432÷18=24元.可并式记为432÷(8+10)=24.
( 例:「36颗苹果平分成3箱,其中2箱送礼,送出去多少颗苹果 」,问题的解法可以列成每箱36÷3=12颗苹果,2箱共有12×2=24颗苹果.可并式记为(36÷3)×2=24.
( 例:「一箱苹果有24颗,将2箱苹果分给3个人,每人可分得多少颗苹果 」,问题的解法可以列成2箱苹果共有24×2=48颗苹果,再平分给3人,每人得48÷3=16颗苹果.可并式记为(24×2)÷3=16.
( 例:「48个布丁,每3个布丁装1盒,每8盒装一箱,请问可装成几箱 」,问题的解法可以列成48个布丁可装成48÷3=16盒,16盒又可装成16÷8=2箱.可并式记为(48÷3)÷8=2.
( 例:「72个莲雾,平分给4个小队,再平分给小队的队员,若每小队有6名队员,请问1个队员可以分到几个莲雾 」,问题的解法可以列成每小队可得到72÷4=18个莲雾,再平分给6个队员,每个队员可得18÷6=3个莲雾.可并式记为(72÷4)÷6=3.
4-n-05
能做整数四则混合计算(两步骤).
N-2-07
A-2-03
说明:
( 初步学习整数四则混合计算时,混合计算的约定如下:
(1) 有括号时,括号内的运算先进行.
(2) 当式子中只有乘除或只有加减的运算时,由左向右逐步进行.
(3) 先乘除后加减.
( 在整数四则混合运算时,除法应能整除.
( 参看4-a-02.
4-n-06
能在具体情境中,对大数在指定位数取概数(含四舍五入法),并做加,减之估算.
N-2-08
说明:
( 概数是大概准确的数字,至於此概数是否恰当,则依赖问题的情境.例如:我们可以说台湾人口约两千万人,但是如果我们关心的是今年台湾人口增加多少时,那麼将去年与今年的人口都说成两千万人就是不恰当的.
( 在指定位数用四舍五入法求概数.
( 四年级阶段只做整数的加减估算,与乘,除有关的估算可在六年级配合小数的教学时再进行(参见6-n-7).
( 例:「台湾2007年5月时,男性人口有11589667人,女性人口有11304616人.先以四舍五入在万位取概数,再计算台湾总人口约有多少万人.」
11589667人约为1159万人,11304616人约为1130万人,故台湾总人口约为1159+1130=2289(万人)
4-n-07
理解分数之「整数相除」的意涵.
N-2-11
说明:
( 理解分数的「整数相除」意涵(例如: 2÷3=,=2÷3),是分数教学的重要课题,日后一般学生也都只记得分数就是分子除以分母的概念.由於本年度开始,学生开始学习假分数与带分数的互换,因此是学生学习此概念的恰当时机.
( 先复习「单位分数」(参见3-n-11,这是在平分情境中进行的),例如:将1个披萨,平分给3个小朋友,每个小朋友分得个披萨,因此 1个披萨÷3=个披萨,简记成1÷3=.
( 讨论「如何将2个披萨,平分给3个小朋友 」,归结到先将每个披萨各平分成3片的方法,再从每个披萨中各取个披萨,但是个披萨有2片,所以应该是个披萨,也就是每个小朋友各分得个披萨,可以让学童将个披萨总加起来,确定会得2个披萨.
在这里教师一定要迫使学童处理,这样平分到底是还是的认知冲突(即全体与「个披萨」单位的冲突).学童必须清楚知道,「2个披萨的三分之一是个披萨」.学童在这一点上能突破,才能较稳定理解分数记号的意义.
( 也可以再讨论「如何将4个披萨,平分给3个小朋友 」(引导出带分数的结果),「如何将2个披萨,平分给4个小朋友 」(引导出等值分数)等问题.
( 在具体情境中,让学童认识有余数(不准分割之离散量个别单位,如5个糖果分给3个小朋友)与无余数(准许分割之连续量个别单位,5个披萨平分给3个小朋友)两者间的不同,进而清楚理解这两种情境的差别.
( 利用包含除(分装)的想法来解释整数相除时,可以先回顾用测量来理解除法的操作方式,这样较能理解整数相除的意涵与可能的应用.
( 例:给定一条长绳长度为35公分,以一段长度为4公分的木条去测量并标记(想成要将长绳剪成4公分长的短绳).由整数计算知35除以4得到8(段),但还剩下3公分.3公分的长度,相当於4公分的,因此可将剩下的3公分的绳子,记成段.於是可以将整个测量结果,记成
35÷4=8+(段)或8 (段).
用假分数与带分数的互换,检查这个等式的意义(注意到在测量情境中,真分数,假分数与带分数结合的方式).
4-n-08
能认识真分数,假分数与带分数,熟练假分数与带分数的互换,并进行同分母分数的比较,加,减与整数倍的计算.
N-2-10
说明:
( 由本细目,开始发展分数的计算课题,建议分母小於20,且用较常出现的数,如2,3,4,5,8,10,12,15,16,20等.为与小数做连结,也应做分母为100的分数.
( 由於分数本质上是一种乘除关系,因此加减计算比乘除计算复杂,但是在同分母的情形,可以利用单位分数的点数,与整数的计算完全连结,这就是本细目所处理的所有情形.建议教师先在一固定情境中(如平分披萨),将课题说明清楚并做计算练习后,才开始做其他应用问题(如平分缎带).
( 本细目应处理:
(1) 将整数点数与分数记号连结起来(例如:9个就是).
(2) 说明真分数,假分数,带分数的意义.
(3) 说明假分数与带分数的转换,并理解这与分子除以分母的商与余数的关系.
(4) 说明整数的比较与计算如何与同分母的比较与计算连结.
( 由於同分母分数的比较与加减,与学童的整数经验完全相同,所以较容易.因此,此细目亦可处理分数的「连加」,也就是整数倍问题.惟学生不宜养成做带分数的倍数时化为假分数来做的习惯,由於分配律尚未学习,在此进行带分数的整数倍时,应注意数字不要过大,或等五年级再处理.
分数的整数倍,可以用4-n-07诠释说明来举例:「若每个小朋友有个披萨,所以3个小朋友(3倍)共有 个披萨×3=2个披萨」.
( 透过分解合成,理解加减互逆也可用於分数加减.
( 理解做带分数减法时,可能要从整数借1的计算原理.并在以10为分母时,理解这与小数相减借位的原理相通.
( 本细目与4-n-07处理完后,学童应能理解或计算:
<1 .
( 分数与小数的互换只做分母为2,5,10,100的情况.
4-n-10
能将简单分数标记在数线上.
N-2-16
说明:
( 本细目要点之一,是学习在数线上标示分数.让学生更深刻认识到分数与整数,小数一样都是「数」,因为都可以标记在数线上.
( 分数的标示有两种方式,一种是利用4-n-09中的等值分数,来标示分母为2,5,10的分数.另一种方法是由分数的基本意义或由4-n-07整数相除的教学,知道如何标示出一般的分数(不是透过直式计算),这时的学习应以如2,3,4,10等简单分母为教学重点.
( 教学时,要特别让学生体认到带分数的整数部分相当於数线上的整数点.
4-n-11
能认识二位小数与百分位的位名,并做比较.
N-2-13
说明:
( 新增位值单位为「百分位」,位名的由来是由於=0.01的关系.学童应理解十分位,百分位,如同整数时各个位值间的关系(参见4-n-01),如:10个0.01是0.1等,并了解0.23=0.1×2+0.01×3=0.01×23.
( 要教导学童「小数点以下2位」或「二位小数」的讲法(这相当於百分位),因为小数的位名,除了教学外,很少使用.
( 对於二位小数的读法应注意,如0.23读成「零点二三」,而非「零点二十三」.
( 例:0.27 0.29(透过分数的转换,也许比较容易理解).
( 小数的教学应与量做结合.例如:1公分=0.01公尺,100公尺=0.1公里.
4-n-12
能用直式处理二位小数加,减与整数倍的计算,并解决生活中的问题.
N-2-13
说明:
( 本细目的重点,在於让学童理解这与整数之四则直式计算几乎相同,其关键在小数点位置的处理.
( 4-n-09与4-n-11中小数之学习应注意和量的结合学习,如「楼层高3.25公尺」,「两地距离24.56公里」,「箱子重5.32公斤」,等.并在量的情境中做各种比较与计算.
4-n-13
能解决复名数的时间量的计算问题.
N-2-24
N-2-25
说明:
( 本细目之加减计算含「日」,「时」,「分」,「秒」.
( 例:2时35分=60分×2+35分=155分.60时=2日12时.
( 135分是几时几分 135÷60=2余15,135分=2时15分.
( 2880分是几日 2880÷60=48,48÷24=2,2880分=2日.
( 例:「小强到公园玩,他先玩直排轮,花了1时45分,再放风筝玩了1时30分后才离开公园,他在公园里玩了多久 」
( 例:「电影片长2小时15分,如果已经播了57分钟,还有多久才播完 」
( 例:「小琪上学出门时间是7时45分,如果她走路需要花20分,请问小琪会不会迟到 」(学校规定7点50分以前到校)
( 例:「现在是早上10时30分,再过多久是午餐时间 再过多久是放学时间 」,这个问题的答案以各校之课表时间为准,教师要协助学生处理经过正午的时间计算问题.
( 也要做跨日的加减计算.例:「爸爸今天下午8时搭飞机从美国回台湾,大概22时之后会到达桃园机场,他到达的时间是明天下午几时 」.
( 例:「奶奶生病,睡了23时,今天上午8时才清醒,她是昨天什麼时候睡的 」.
4-n-14
能以复名数解决量(长度,容量,重量)的计算问题
N-2-17
N-2-18
N-2-19
N-2-25
说明:
( 在3-n-14已处理「公分,毫米」的复名数计算问题,并利用「1公分=10毫米」,「10毫米=1公分」做进位和退位的计算.
( 在3-n-15及3-n-16已处理「公升和毫升」,「公斤和公克」的不进位和不退位的计算.
( 本细目强调「公尺和公分」,「公里和公尺」,「公升和毫升」,「公斤和公克」的进位和退位之加,减及乘法计算,这些单位都是100:1或1000:1的关系.
4-n-15
能认识长度单位「公里」,及「公里」与其他长度单位的关系,并做相关计算.
N-2-17
说明:
( 能认识「1公里=1000公尺」,所以「1公里=100000公分」等.并可与概数的教学单元互相加强(参见4-n-06).
( 例:知道「操场跑5圈约为1公里」(假设操场一圈约为200公尺).也能计算「操场跑7圈约为1公里400公尺」.
( 公里不容易直接估测,不需强调,但可讨论其它的策略,譬如由经验知道1公里大概相当於学童走30分钟,或大人走15分钟的距离.
( 教师也可举当地两市镇间的距离为例子.例如:甲镇到乙镇的省道长4公里300公尺,乙镇到丙镇之省道长3公里800公尺,则顺著省道由甲镇到丙镇,长度为7公里1100公尺,等於8公里100公尺.
4-n-16
能认识角度单位「度」,并使用量角器实测角度或画出指定的角.(同4-s-04)
N-2-20
说明:
( 要注意学童以为度数随角的边长增加而增加的常犯错误(这是与面积混淆所产生的错误).
( 学童在学习使用量角器时,经常有无法对准中心及角的一边未对齐0度线的问题,教师应仔细检查.
( 学童初步熟悉30度,45度,60度,90度,120度,135度,150度,180度的角度即可.
( 在做角度估测时,不应要求太严格.
4-n-17
能认识面积单位「平方公尺」,及「平方公分」,「平方公尺」间的关系,并做相关计算.
N-2-21
说明:
( 能认识「1平方公尺=10000平方公分」,但由於学生的除法经验尚不足,不应问倒过来「平方公分」化「平方公尺」的问题.
4-n-18
能理解长方形和正方形的面积公式与周长公式.(同4-s-09)
N-2-22
S-2-08
说明:
( 这里所有长方形与正方形的边长皆为整数.
( 长方形面积公式=长×宽,周长=(长+宽)×2.
( 正方形面积公式=边长×边长,周长=边长×4.
( 教师应与学童讨论两面积公式之间的关系.也应讨论长方形面积相等,形状却不一定相同(因数的前置经验);若长方形周长相等,形状也不一定相同.
( 可让学童计算由长方形与正方形组成的简单复合图形,只处理相接而不相重叠的图形.如下图:
4-n-19
能认识体积及体积单位「立方公分」.
N-2-23
说明:
( 体积的直接比较与间接比较都不容易,除简单的概念介绍外,操作上宜从规则排列的长方体或正方体入手.例如:用数量一定,形状及大小相同的积木,堆积成各种可能的长方体或正方体.
( 认识1立方公分的积木,用小积木复制某一特定物件,并点数复制时所使用的积木数量.
几何
4-s-01
能运用「角」与「边」等构成要素,辨认简单平面图形.
S-2-04
说明:
( 小学前三年与后三年的几何教学定位不同(参见附录一几何主题说明).本细目一方面是针对前阶段的检查性细目,但也是后阶段几何教学的开始.
( 在2-s-01,2-s-05中,先在操作观察中认识给定平面图形的构成要素.本细目则在强调,由构成要素来刻画一简单几何图形.在顺序上,前者是先给定图形,再做实测并认识(例如:正方形在实测中,边长可能略有误差).但本细目,则在强调用构成要素的性质来「刻画」一理想的几何图形(例如:四边相等且四角为直角的四边形为正方形).
( 例:有一个直角的三角形是直角三角形;有四个直角的四边形是长方形.
( 在国小教学时,由於学生认知心理尚未成熟,因此并不强调正方形是长方形的一种,但这是数学上的重要事实,将从国中开始学习,因此在小学做评量时,切忌询问「正方形是不是长方形 」这类会导致与日后认知冲突的问题.(※不宜评量)
4-s-02
能透过操作,认识基本三角形与四边形的简单性质.
S-2-05
说明:
( 本细目开始探讨基本三角形与四边形的简单性质.操作可使用直尺,三角板,量角器,圆规,模型(图形板的或骨架的),摺纸,剪裁等.
( 基本三角形如:正三角形,等腰三角形等,其简单性质如:正三角形三角相等;等腰三角形两底角相等.
( 基本四边形如:平行四边形等,其简单性质如:平行四边形沿对角线分开之两三角形全等.
4-s-03
能认识平面图形全等的意义.
S-2-06
说明:
( 此为「检查细目」,可在相关几何教学中进行,不一定要自成单元(或章节).
( 在先前之几何操作(1-s-04,3-s-06)如平移,旋转,翻转中,学童早已开始运用全等的直觉.本细目在将全等的概念定义得更清楚,印证学童的经验.
( 简单平面图形的全等意指两平面图形在叠合时,其顶点,边,角完全重合.
( 能以「对应顶点」,「对应角」与「对应边」的关系来描述三角形全等的意义.
( 理解平面图形的性质(参见4-s-02),在全等的操作下皆不变.
4-s-04
能认识「度」的角度单位,使用量角器实测角度或画出指定的角.(同4-n-16)
N-2-20
4-s-05
能理解旋转角(包括平角和周角)的意义.
S-2-07
说明:
( 旋转角是角度学习的应用,在旋转时,由始边转到终边构成一个角,因此可应用角度来描述旋转程度的大小,但因为旋转有两个可能的方向(顺时针旋转或逆时针旋转),因此描述时,要用顺时针旋转90度或逆时针旋转120度的说法才完整.
( 教学时可藉由最常见的钟面上时针或分针的旋转,让学生认识旋转现象,知道顺时针与逆时针的意义,并认识旋转中心,始边,终边与旋转角的关系.老师之教学重点,在结合原来的角度概念与旋转现象,而不是将旋转角当做新的专有名词来定义.
( 常用之旋转例子:如「向右转」通常视为顺时针转90度,「向左转」视为逆时针90度,「向后转」则是转了180度(称为平角),且顺,逆时针的结果都一样.也可考虑说明旋转一整圈是顺时针或逆时针转了360度(称为周角)的结果.
4-s-06
能理解平面上直角,垂直与平行的意义.
N-2-20
S-2-03
说明:
( 能利用三角板来辅助垂直的理解,并由窗格知道,垂直相交的两线段所成的四角相等(对称),都是直角.
( 可由窗格门栅的例子,知道平行线等宽或者说平行线的距离处处相等的事实.并将平行总结为:「两线(段)同时垂直於某线(段)」(注意本细目只讨论平面上的情况).可进行门宽之实测,结合长度,垂直和平行的关系.
( 在圆平分的例子中,做两次对半分割(即4等分),认识垂直就是4等分割时的自然结果,并与分数中的4等分相互加强.
4-s-07
能认识平行四边形和梯形.
S-2-02
S-2-03
S-2-04
说明:
( 平行四边形为两组对边平行的四边形.
( 梯形为只有一组对边平行的四边形.
4-s-08
能利用三角板画出直角与两平行线段,并用来描绘平面图形.
S-2-03
S-2-04
说明:
( 例:学童会使用直尺或三角板画出直角或两平行线段,进而用来绘制直角三角形,正方形,长方形,平行四边形与梯形.
4-s-09
能理解长方形和正方形的面积公式与周长公式.(同4-n-18)
N-2-22
S-2-08
代数
4-a-01
能在具体情境中,理解乘法结合律.
A-2-02
说明:
( 本细目为「检查细目」,可并入整数教学单元(或章节)中进行(参见4-n-05),不一定要另立单元(或章节)教学.「乘法结合律」一词建议不出现在四年级(包括四年级)以前的教学与课本.
( 乘法结合律,例:学童可以在具体情境中理解,在计算「学期末,每班发给3个小朋友学业优良奖,一个年级有10班,全校有6个年级,共有多少个小朋友可以得到学业优良奖 」之问题时,先计算3×10得出每个年级得奖人数后,再乘以6个年级,可以得到全校的受奖人数,与先计算10×6得出全校的班级数后,再计算3乘以全校的班级数,得出全校的受奖人数之结果都一样,进而理解(3×10)×6=3×(10×6)的意义.
( 乘法结合律,例:以正方体的小积木排一个长方体,直排一排有8个,横排一排有6个,高一排有5个,让学童知道有许多不同的方式可以计算总积木数.这里会用到乘法的结合律与交换律.
( 单位换算也是自然的连乘与乘法结合律情境.例:知道2天有 60×24×2分钟,且能说明结合律在此例中的意思.
( 例:25×11×4=25×4×11=100×11=1100.
4-a-02
能在四则混合计算中,应用数的运算性质.
N-2-07
A-2-01
说明:
( 本细目为「检查细目」,可并入整数教学单元(或章节)中进行,不一定要另立单元(或章节)教学.
( 此处数的性质包括加法交换律,结合律,加减混合之计算顺序可调换,乘法交换律,结合律.分配律与除法有关之性质则在五年级才学习.
( 让学生在实际的计算中,活用运算规律,才能让学生初步理解运算律之重要性.
统计与机率
4-d-01
能报读生活中常用的长条图.
D-2-02
说明:
( 统计图的学习分成两阶段,先学习如何报读已经制作好的统计图,再学习如何将资料制作成统计图.「报读」是指将统计图上所看到的资料数据检读出来.
( 统计图表的功能在於藉由图表,整理杂乱的原始资料,可以简明的掌握整笔资料的重点.
( 资料的解读可与「社会」,「自然与生活科技」等学习领域的教学综合进行为宜.亦可与社会重要议题结合,例如:人口贩运,性交易防制,性别平等,家庭暴力防制,生命教育,环保教育等议题.
( 下例为一普通的长条图.
( 例:各种变形长条图的样式:
图4,依性别之兴趣调查长条图
4-d-02
能报读生活中常用的折线图.
D-2-02
说明:
( 折线图一般用於处理有秩序性的资料,其中横轴为「次序」,例如:座号,序号,时间,大小.
( 例:图5为爸妈为小强由小学一年级到四年级所记录的的身高折线图.
5.五年级细目诠释
数与量
5-n-01
能熟练整数乘,除的直式计算.
N-3-01
说明:
( 五年级是整数直式计算的总结,应熟习乘,除直式计算之一般计算算则,评量上不用处理太多位数的大数,只要学童能熟习四位数乘以三位数,四位数除以三位数之内的计算即可.
( 应让学童理解直式计算中,处理「0」的一般方法.
( 在较大数时,应熟悉如「234000×2100」,「840000÷280」,「3200000÷2000」等形式之计算问题,这是连结位值,概数与日后科学记号之学习基础.
5-n-02
能在具体情境中,解决三步骤问题,并能并式计算.
N-3-02
A-3-01
说明:
( 本细目要求学童能做三步骤应用问题,并尽量以并式的方式思考与演算.这是国中代数学习的重要前置经验.
( 例:(平均问题)「三人出外旅游,共花费旅馆费2200元,饮食杂费1800元,汽油费500元,若三人协议分摊旅费,问每人平均分摊多少元 」
(2200+1800+500)÷3=4500÷3=1500(元)
( 例:(日取其半)「一条绳子的一半的一半的一半是3公尺,问原来绳长几公尺 」
5-n-03
能熟练整数四则混合计算.
N-3-02
A-3-01
说明:
( 这是小学对於整数四则混合计算的总结细目,学童应能熟悉各种混合计算的约定;同时希望学童在练习中,能利用整数四则运算的性质来简化计算,加深学童对四则运算性质的熟悉.
( 数量范围虽然可以配合年级而扩大,但应避免过度繁杂又重复的练习.
5-n-04
能理解因数和倍数.
N-3-03
说明:
( 以1-n-07(几个一数),2-n-08(九九乘法),3-n-05(除法)为前置经验,理解因数,倍数的概念.
( 五年级安排本细目与5-n-05,目标在於协助学童做分数约分,扩分,通分之计算,而非整数内在关系的理论(六年级题材),因此数字大小应配合分数之教学(5-n-07).
( 学生应学习基本的因数判别法,其中2,5,10较容易,3的因数判别法则由教师告知,11暂不需要教学.
5-n-05
能认识两数的公因数,公倍数,最大公因数与最小公倍数.
N-3-03
说明:
( 用列表的方式,寻找两数的公因数,公倍数,最大公因数,最小公倍数.
( 学童应知道两整数的乘积一定是此两数的公倍数,此可用於分数之通分.
( 五年级时,只是初步认识这些概念,学生只需用列表解题.短除法算则则在六年级配合因数之短除法一起教学(6-n-02).
5-n-06
能用约分,扩分处理等值分数的换算.
N-3-06
说明:
( 在4-n-09的前置经验中,仅强调等值分数概念的认识.
( 在本细目教学时,可由平分情境,解释约分与扩分的意义,然后即应运用因数与倍数来理解约分与扩分,并做等值分数的换算.
( 例:知道;或
5-n-07
能用通分做简单异分母分数的比较与加减.
N-3-07
说明:
( 本细目在小学应以简单异分母为教学重点,所谓「简单」系指两分母满足以下情况之一(1)分母均为一位数;(2)一分母为另一分母的倍数,且两数小於100;(3)乘以2,3,4,5就可以找到两分母之公倍数(例如:两分母为12与18).
( 做一般异分母分数之比较与加减时,必须利用约分或扩分,将两异分母的分数通分成为两同分母之等值分数后,再做比较与加减.
( 本细目只做通分概念的认识,并不要求将结果化成最简分数(参见6-n-03).所以此时学童在做通分时,可能只是做最简单的分母相乘,但在熟悉的数字时,教师可鼓励学童尽量将答案约分为较简单的分数.
( 教师应注意学童经常发生的错误类型:分母与分子各自相加减.
5-n-08
能理解分数乘法的意义,并熟练其计算,解决生活中的问题.
N-3-09
说明:
( 分数计算的课题,不管是从形式练习面著手,还是从情境说明著手,学童都需要经常练习,两者俱进,才会熟练.
( 本细目在教学上应先处理带分数乘以整数的问题,此时应用分配律的方式来处理,若直接化成假分数来计算,学生经常因计算复杂而犯错.
( 本细目的核心是乘数是分数的意义,教学上可先处理整数乘以分数的情况,再处理被乘数为一般分数的情形.理解「分数乘以分数」的方式很多,底下只是一些方法的范例,并不表示教师必须全部教完.
( 在乘数为分数的教学中,最要注意的错误类型,是学童认为「乘积一定比被乘数大」,对於这个基於整数计算经验的错误类推,教师需细心处理.最好在最容易理解的「乘数为单位分数」的情况下,就要开始处理.
( 乘数为分数的教学宜先从单位分数开始.3-n-11中谈一数的「几分之一」是本细目的前置经验,但不完全相同.「分数倍」的理解比较抽象,可让学童从已经熟练的直觉与运算上,认识其合理性.
( 例:1个披萨300元,2个披萨600元等,将几个转成几倍来列式,再问「如果两个人平分1个披萨(即各吃个披萨),应该各付多少钱 如果三个人各吃个披萨呢 如果五个人各吃个披萨呢 」让学童理解×,×,×,其实就是二等分(除以2,「的二分之一」,「的一半」),三等分(除以3,「的三分之一」),五等分(除以5,「的五分之一」).在此例要小心「元」这个单位不能再分,因此被乘数必须能被整除.
( 与上例类似的连续量例子:从测量情境的分数「整数相除」意涵入手,假设作为测量单位的木条长5公分,那麼测量结果,1段就是5公分,2段就是10公分,因此「段」也可以作为倍数来理解,这时问 段应该是多长,显然就应该是5÷2= 公分.如此也可以得到一样的结果.
( 例:由长方形的面积公式入手(只处理乘数是单位分数,参见4-n-18).由於边长是连续量,很适合用在分数与小数的教学,但要注意4-n-18的面积公式边长都是整数.先固定面积公式中的「长」,例如:10公分,看出当「宽」为1与的差别是,后者的总面积是前者总面积(10×1=10)的三等分,因此应该是10×=,以此类推.
( 以上处理单位分数倍的方式,可以建立×就是÷2,×就是÷3的概念.接著,讨论乘数分子不为1的情况如倍的情况,先在上述类似具体情境中(面积中可能要用到等积异形),理解这其实就是÷2×3或×3÷2;或者用测量模型,则×相当於×1(亦即1段加半段).并可由此得到一般分数倍的计算方式:5× =5×3÷2==
接著,再说明
× =×3÷2=÷2==
( 如果要一次完成分数乘以分数,也可以深入探讨长方形面积公式.例如:要处理长为公分,宽为公分的长方形,则可将长方形分割成15个长为公分,宽为公分的小长方形,再将小长方形与边长1公分的正方形比较,知道其面积是平方公分,因此总面积为×15=平方公分.
5-n-09
能理解除数为整数的分数除法的意义,并解决生活中的问题.
N-3-10
说明:
( 此为6-n-04之前置经验.
( 由分数乘法的意义,很容易就可以进行除数为整数之教学(以平分的模型来教学).
( 例:3披萨要平分给4个人,因此每人分得全部3披萨的,因此依照算式记录可知:
3 ÷ 4 = × =
( 学童最后要熟知「÷m」相当於「×」之事实,并能熟练计算.
( 分装情形的除法意义与应用问题,宜等到六年级才与6-n-04一起进行.
5-n-10
能认识多位小数,并做比较与加,减与整数倍的计算,以及解决生活中的问题.
N-3-08
说明:
( 所谓多位小数,只是让学童知道小数的位数,原则上跟大数一样,可以一再细分下去,而不特别自限於固定的位值限制即可.实际教学时,则以三位小数和四位小数为教学与评量重点.
( 要教导学童「小数点以下(后)第3,4位」的讲法.
( 在进行多位小数教学时,要同时将已知关於小数的直式计算加以延伸,让学童理解多位小数的计算,与小位数小数的计算方式相同.
( 知道怎麼将多位小数化为分数,让学生理解这两种表示法的内在关系(约分非此处重点).
( 教师也不妨引用自然科学的实际例子,让学童知道在微小的世界中,小数派的上用场,例如:细菌大概是0.0003公分长,更小的病毒,大概0.00001公分长.如果细菌像10元硬币那麼大,那麼小朋友就跟珠穆朗玛峰(圣母峰)一样高.
5-n-11
能用直式处理乘数是小数的计算,并解决生活中的问题.
N-3-09
N-3-11
说明:
( 此细目与5-n-08有关,两者都必须先理解乘数是分数或小数时的意义.
( 先处理整数的小数倍的计算方式.乘数可先从0.1与0.01著手,知道其结果相当於移动小数点的位置(若已先处理乘以或的情形与5-n-12,则此处为显然).其次,再考虑例如:乘数为0.2(=),或乘数为1.2(=)的情形.最后再讨论被乘数是小数的情形.
( 本细目教学之最后阶段,以两位小数的互乘为原则,多位小数则作为展示小数点如何处理的范例.
( 评量要点为学生能确实理解小数乘法与整数乘法直式计算的异同.
5-n-12
能用直式处理整数除以整数,商为三位小数的计算.
N-3-11 N-3-13
说明:
( 在4-n-06中已知整数除以整数可以表示为分数,4-n-08中知道某些分数可以化为小数.本细目以前两者为基础,学习如何透过直式计算,将整数除以整数的计算直接表为小数,其商限定为三位小数.
( 学生应熟悉分母为2,4,5,8,10,100之真分数所对应的小数值,并应用於一般假分数情况之计算.
( 布题应小心情境之合理性,让学生能理解不求余数,而继续往下计算的理由.
( 关於出现循环小数的问题,将在六年级处理(6-n-06),教师评量时,应小心布题.
5-n-13
能将分数,小数标记在数线上.
N-3-11 N-3-13
说明:
( 本细目要点之一,是学习自行制作数线,标示整数,分数,小数.
( 小数的标示以一位为原则.
( 分数的标示应以如2,3,4,10等简单分母为教学重点.
5-n-14
能认识比率及其在生活上的应用(含「百分率」,「折」).
N-3-14
说明:
( 「比率」是分数课题之一.初步学习的情境强调的是部分占全体的多寡与其表示法,因此比率的值往往小於或等於1,且1就是「全部」.
( 当学生认识到可以1作为基准量时,则也可以学习大於1的比率.日常生活中的加成,如服务费加两成;犯罪成长率120%;投资报酬率,银行存款利率等也是比率的例子.
( 五年级阶段,只处理部分量与全部量为整数或可恰当转化为整数量的情形.例如:「100个人中有75人及格」,所以及格人数的比率是=0.75.而不及格人数的比率是1-0.75=0.25.
( 也要能处理,由全部量与比率推得部分量的问题,例如:「全校500名学童,其中的是女生,请问女生有多少人 」,答案是500×=265.
( 部分量与所占比率已知,推得全部量的问题则到六年级分数除法时再处理(参见6-n-04,6-n-06).
( 百分率是最常用的比率表示法,学童应理解其意义,记法与应用,知道100%就是1,也就是全部.例:知道=0.75,可记成75%.知道这次考试有75%的同学及格,则不及格的同学占全班25%,知道这相当於计算1-75%=100%—75%=25%.
( 例:「500人的75%是多少人 」,「若全校有500人,女生有275人,则男生占全校人数的百分之多少 」.
( 熟练常用的百分率与分数转换,如:100%=1(全部),50%=(一半),25%=,75%=,20%=,40%=,60%=,80%=,10%=
( 「折」的日常用法要熟悉并能计算.知道「书店全面七五折」的意思相当於以定价的75%计价,若买600元的书,只要付600×=450元.学童应理解这样省了1-75%=25%.另外要注意「七五折」不是「七十五折」.
( 要处理全体中有多少子类的情况,可与统计机率的细目一起处理(参见6-d-01).
5-n-15
能解决时间的乘除计算问题.
N-3-19
说明:
( 本细目的单位换算与计算限於整数范围.
( 例:如果知道练习弹奏一首钢琴曲要5分30秒,连续弹奏三次需要多少时间
( 例:连续播放一首歌曲五遍共需31分15秒,只播放一遍需要多少时间
( 例:做一个捏面人要花2分30秒,1小时可以做几个
5-n-16
能认识重量单位「公吨」及「公吨」,「公斤」间的关系,并做相关计算.
N-3-19
说明:
( 1公吨=1000公斤
( 本细目的单位换算与计算可引入分数或小数(但需在本年度之学习范围内).
5-n-17
能认识面积单位「公亩」,「公顷」,「平方公里」及其关系,并做相关计算.(同5-s-05)
N-3-19
说明:
( 1公亩=100平方公尺;1公顷=100公亩;1平方公里=1000000平方公尺.
( 本细目的计算可引入分数或小数,但由於学生对於多位小数尚不熟悉,教师可以告诉学生1平方公尺为或0.000001平方公里,但勿再过度要求,尤其不要做反方向的换算.
( 例:1平方公里=10000公亩=100公顷
( 例:「若某正方形区域之公园,面积为1公亩,请问其边长为多少公尺 」
5-n-18
能运用切割重组,理解三角形,平行四边形与梯形的面积公式.(同5-s-05)
N-3-22
S-3-06
说明:
( 从长方形面积出发,以3-s-06为前置经验,运用切割重组与简单几何图形的性质,来推导这些图形的面积.
( 三角形面积公式=(底×高)÷2
平行四边形面积公式=底×高
梯形面积公式=(上底+下底) ×高÷2
5-n-19
能认识体积单位「立方公尺」,及「立方公分」,「立方公尺」间的关系,并做相关计算.
N-3-19
说明:
( 1立方公尺=1000000立方公分
( 本细目的计算可引入分数或小数,但由於学生对於多位小数尚不熟悉,教师可以告诉学生1立方公分为或0.000001立方公尺,但勿再过度要求,尤其不要做反方向的换算.
5-n-20
能理解长方体和正方体体积的计算公式,并能求出长方体和正方体的表面积.(同5-s-07)
N-3-20
N-3-25
S-3-05
S-3-11
说明:
( 长方体体积公式=长×宽×高
( 正方体体积公式=边长×边长×边长
( 应能理解长方体和正方体表面积的计算方法,这里不强调表面积的公式,学童能合理求出表面积即可.
( 教师与学童可讨论长方体与正方体两体积公式间的关系.
可让学童计算由长方体与正方体组成的简单复合图形,只处理相接而不相内嵌的图形.如右图:

5-n-21
能理解容量,容积和体积间的关系.
N-3-21
说明:
( 容量,容积与体积均为空间大小的量.一般说来,体积代表实体占有的空间,容量,容积代表的是实体内可负载的量,其区别如下:
体积:物体所占空间的大小.
容积:某一具有确定三度空间的周界内的空间大小,通常此空间有容纳物质可以随时存取的功能.换言之,容积是指容器内部空间的大小,其概念是体积概念.例如:冰箱内部的容积.
液量:指容器内液体的量.如:水量.
容量:指容器可装载的最大液量.
( 「容积」概念的引入:可从容器内部空间的形状和大小开始讨论,引导用多少个1立方公分积木才能填满,才由教师宣告盒子内部空间的体积就是这个盒子的容积.
( 「容积」,「容量」的关系:可联络旧经验,例如:盒子的容积是多少 同一个盒子的容量是多少 再由教师配合活动操作的结果宣告1公升的水所占的空间是1000立方公分;让儿童了解水所占空间的体积是多少,进一步才讨论容器内部空间不是长方体时,可由容量推算容积.
( 当儿童认识水也有体积之后,便可以讨论「沉入水中的物体的体积,等於此物体所排开的水的水量,也就是水所占空间的体积」.
( 1立方公分=1c.c..
几何
5-s-01
能透过操作,理解三角形三内角和为180度.
S-3-02
说明:
( 先尝试测量不同形状的三角形.认识许多三角形的三内角和为180度.
( 以剪裁拼贴的方法,让学生稍微理解内角和都等於180度的理由.
( 知道正三角形的三内角都是60度.知道常用两种三角板的三内角为45-45-90度与30-60-90度.
( 「内角」一词不必在课文中出现.
5-s-02
能透过操作,理解三角形任意两边和大於第三边.
S-3-02
说明:
( 尝试测量不同形状的三角形,归纳出结果.
( 如果学童理解两点间的线段长度是最短距离,也可以用推理知道为什麼这个性质是正确的.(※讨论活动题,不宜评量)
5-s-03
能认识圆心角,并认识扇形.
S-3-01
说明:
( 先认识圆心角与扇形的意义,知道圆心角的大小和扇形的大小是不同的概念.
能将圆心角与圆形模型之分数相结合,知道半圆之圆心角为180度,圆的圆心角是直角90度,圆的圆心角是45度,圆的圆心角是120度,圆的圆心角是60度等.
也可透过圆心角与旋转角的结合,再认识180度与360度的意义.(参见 4-s-05)
5-s-04
能认识线对称与简单平面图形的线对称性质.
S-3-03
说明:
( 能在具体示例中判断一图形是否为线对称图形,并能找出该图形的对称轴(可能不只一条).
( 知道具有对称性的常见平面图形:等腰三角形,长方形,正方形,菱形,正多边形(至少正五边形与正六边形),圆.
( 能指认一点之对称点,并知道线对称图形的对应边相等,对应角相等,并知道对称轴两侧图形全等(不需要证明).
( 知道如何描绘一平面图形对一对称轴的线对称图形.
5-s-05
能运用切割重组,理解三角形,平行四边形与梯形的面积公式.(同5-n-18)
N-3-22
S-3-06
5-s-06
能认识球,直圆柱,直圆锥,直角柱与正角锥.
S-3-09
说明:
( 本细目之目标,在於以平面图形之知识,初步认识常见立体图形之几何结构,了解立体图形表面之意义.教学应以活动操作为主,且不牵涉量的计算.
( 球为常见的立体图形,学生仅需认识球有球心,过球心之各截面为半径相同的圆,并理解球半径的意义即可.
( 除了球之外,在小学阶段,立体图形只需认识最自然的直圆柱,直圆锥,直角柱与正角锥的教学,「直」,「正」一词皆不需在教学时出现.
( 可由实际生活中之屋柱,认识直圆柱和直角柱的基本意义.并由展开图或剪贴之操作,认识图形之基本构成要素.例如:将长方形卷曲再加上全等两圆,可构成直圆柱;两全等多边形与适当之诸长方形可构成直角柱.
在直圆锥与正角锥的学习中,认识到图形是由底边之正多边形或圆,与其「中心」上方一点所构成.由展开图或剪贴知道,由底圆与适当之扇形可构成直圆锥;由底正多边形与适当之诸等腰三角形可构成正角锥.
展开图在此仅作为活动操作之工具,藉以让学生初步认识各构成要素如何构造出立体图形,不应作为纸笔评量之题材(此为国中之范围).
5-s-07
能理解长方体和正方体体积的计算公式,并能求出长方体和正方体的表面积.(同5-n-20)
N-3-20
N-3-25
S-3-05
S-3-11
代数
5-a-01
能在具体情境中,理解乘法对加法的分配律,并运用於简化计算.
N-3-02
A-3-01
说明:
( 本细目为「检查细目」,可以并入整数教学单元(或章节)中进行(参见5-n-02,5-n-03),不一定要另立单元教学.「分配律」一词建议不出现在教学与课本中.
( 解释乘法直式计算时,会用到分配律,学童可以从钱币的情境来理解,也可以透过乘法的「排列模型」来理解.如下图:4×12=4×10+4×2
( 也可透过下面的例子来理解,例:「一打铅笔有12枝,文具店有3打黄色铅笔,7打粉红色铅笔,拆开来放在笔筒里,共有多少枝铅笔 」,这个问题可以分开成黄色铅笔12×3=36枝,粉红色铅笔12×7=84枝,总共有36+84=120枝来计算,也可以先算有3+7=10打铅笔,再算共有12×10=120枝铅笔.所以12×(3+7) =12×3+12×7
( 例:「一束花中有10朵玫瑰,12朵康乃馨,7束花总共有多少朵花 」,这个问题可以分开成7束花有10×7=70朵玫瑰,12×7=84朵康乃馨,合起来共有154朵花;也可以先算每束有10+12=22朵花,再算总共有22×7=154朵花.所以 (10+12) ×7=10×7+12×7
( 解释带分数乘以整数的计算时,会用到分配律,如:
3×3=3×3+×3=9+=10
5-a-02
能在具体情境中,理解先乘再除与先除再乘的结果相同,也理解连除两数相当於除以此两数之积.
A-3-01
说明:
( 本细目为「检查细目」,可以并入整数教学单元(或章节)中进行(参见5-n-02,5-n-03),不一定要另立单元(或章节)教学.注意到这里的除法都必须整除.
( 例:「一盒糖有15颗,7盒糖平分给5人,一人分到多少颗糖 」,这个问题可以先算有多少颗糖(15×7=105),再算一人分到多少颗(105÷5=21);也可以先将一盒糖分给5人(每人15÷5=3颗),再看7盒糖一人分到多少颗(3×7=21).并式纪录呈现:15×7÷5=15÷5×7,可讨论后者的计算较容易.
( 先乘再除相当於先除再乘,也可以运用2-n-06中之乘法「排列」模型来理解(图例:6×3÷2=6÷2×3).
( 续4-n-04例:「48个布丁,每3个布丁装1盒,每8盒装一箱,请问可装成几箱 」.学童应理解,这相当於先计算每箱可装3×8=24个布丁,所以48÷3÷8=48÷(3×8)=48÷24=2
( 续4-n-04例:「72个莲雾,平分给4个小队,再平分给小队的队员,若每小队有6名队员,请问1个队员可以分到几个莲雾 」.学童应理解,这相当於先计算总共有6×4=24个队员,所以72÷4÷6=72÷(4×6)=72÷24=3
( 例:60×32÷12=60÷12×32=5×32=160
( 在本年级处理此细目时,应完全在整数的限制中处理.分数或小数将在六年级才进行(6-n-05,6-n-08).
5-a-03
能熟练运用四则运算的性质,做整数四则混合计算.
N-3-02
A-3-01
说明:
( 四则运算的性质指加法与乘法的交换律,结合律,乘法对加法的分配律5-a-01以及5-a-02之运算性质.
( 并式时的约定参见4-n-04,4-n-05.
5-a-04
能将整数单步骤的具体情境问题列成含有未知数符号的算式,并能解释算式,求解及验算.
A-3-04
A-3-05
说明:
( 在「加减互逆」(2-a-04)和「乘除互逆」(3-a-01)的细目中,已经处理过有空格的单步骤计算题.因此本细目的要点在於,学童能够从问题中分析题意,以未知数表示的未知量,并列出正确的算式.由於这对学童而言是全新的学习,因此问题限制在最简单的单步骤问题.
( 学童可以用△,□,甲,乙,,…来代表未知数,不过基於与国中代数连结的考虑,若学童使用英文单字没有问题,应尽量考虑使用和.
( 例如:「小明原有8张怪兽卡,又获得几张怪兽卡之后,总共有13张怪兽卡 」,学童将题目列成8+=13后,由加减互逆运算,知的答案等於13-8=5.
例如:一包口香糖有7片,需要购买几包才会有28片的的乘法问题,学童将题目列成7×=28后,透过乘除互逆,得知的答案等於28÷7=4.
单步骤指的是未知数之计算步骤为单步骤,如下例:
8+=13, +5=16;
-10=10, 20-=15;
7×=28, ×5=20;
÷9=63, 40÷=5
6.六年级细目诠释
数与量
6-n-01
能认识质数,合数,并用短除法做质因数的分解(质数<20,质因数<20,被分解数<100).
N-3-04
说明:
( 在5-n-04,制作整数的因数表时,可以发现有一些整数不能再被分解,这些数称为质数,他们的因数只有1与自己而已.大於1且不是质数的整数(或有3个以上因数的整数)称为合数.
( 在对一数做因数分解的练习里,发现遇到质数就必须停下来.同时在记录分解的样式及整理中,发现不管怎麼分解,形式都一样(见下例).在小学时,质因数分解的乘积不写成指数形式
( 例:60=6×10=(2×3)×(2×5)=2×2×3×5,或
60=15×4=(3×5)×(2×2)=2×2×3×5
( 牵涉因数分解的细目(参见6-n-02),都应遵循如下原则:质因数<20,被分解数4来说明.
( 由此引入速度的公式:速度= 或 距离=速度×时间.并能应用此公式解题.引导学生观察,发现「当速度一定时,距离与时间成正比」.
( 例:「小明从家里走到学校,花了15分钟,如果小明自己估计,他每秒可走1.5公尺,则家里到学校的距离大概有多远 」,在这样的例子中,让学童理解速度单位换算规则的必要.另外,虽然速度可能不均匀,但是这样的估计,对日常应用还是有意义的.
( 常用的速度单位为每小时几公里(公里/小时),每分钟几公尺(公尺/分),每秒几公尺(公尺/秒).学童应能处理如下问题:「如果小丽走路的速度是1公尺/秒,则小丽每小时可走多少公里 」,学生可以先用简单的方法理解小丽每小时可走1×60×60=3600公尺,也就是3.6公里.但最后应能知道这相当
1 =3.6 ,并能用下式的想法来思考(见6-n-09):
3.6 = 3.6 ×
=3.6× =1公尺/秒
( 本细目的时间单位换算与计算可引入分数,应让学生熟悉时间单位的分数换算,如:20分钟=小时.
6-n-13
能利用常用的数量关系,列出恰当的算式,进行解题,并检验解的合理性.(同6-a-04)
N-3-18
A-3-02
A-3-03
A-3-04
A-3-05
说明:
( 本细目在六年级课程应占相当份量,作为国小课程之总结.本细目之重点在解题,希望能整合国小阶段所学到之数,量,运算,数量关系,解未知数等式之经验,进行应用问题之解题,包含说明题意,列式表述问题,发展策略解题.传统之应用问题:鸡兔问题,年龄问题,龟兔赛跑等,皆属於本细目.
( 希望学童能分析问题,列出多步骤之算式来解题(不一定用算式填充题).
( 常用的数量关系包括:和不变,差不变,积不变,比例关系,基准量问题等.
( 例:(年龄问题)「小丽今年12岁,爸爸与小丽的年龄相差24岁,再过几年爸爸的年龄是小丽的两倍 」
( 例:(平均问题)「小明的国语,社会,自然三科平均为90分,问小明的数学要考多少分才会让四科平均达到88分 」
( 例:(追赶问题)「小英跑步的速度是每秒5公尺 ,小丽跑步的速度是每秒4公尺,两人赛跑,如果小丽在小英前方40公尺,请问小英何时可以赶上小丽 」
( 例:(鸡兔问题)「仓库中有一种轮胎100个,可以装在六轮小货车上,也可以装在四轮汽车上,今天装配了22辆车子,刚好将轮胎都用光,请问这些车子中,有几辆是六轮小货车,有几辆是四轮汽车 」
6-n-14
能理解圆面积与圆周长的公式,并计算简单扇形的面积.(同6-s-03)
N-3-23
S-3-07
说明:
( 可由圆周长的实测理解圆周长与直径成比率,其比率(比值)称为圆周率,在教学上教师应说明圆周率大约为3.14.
( 理解圆面积公式为圆周率×半径×半径.
( 扇形面积的计算可与分数平分的操作相互加强.知道半圆,圆,圆的面积计算方式.
6-n-15
能理解简单直柱体的体积为底面积与高的乘积.(同6-s-05)
N-3-24
S-3-10
说明:
( 由长方体或立方体说明这类特别柱体的体积等於底面积乘以高.
( 可举一例如:平行四边形,说明当初以切割说明平行四边形面积的切割步骤,也可用来计算以平行四边形为底之直柱体体积.并由此说明简单直柱体的体积为底面积乘以高.
( 最后告知或略微说明圆柱体体积也是底面积乘以高.
几何
6-s-01
能利用几何形体的性质解决简单的几何问题.
S-3-01
说明:
( 例:由三角形的内角和为180度(参见5-s-01),推知四边形之内角和为360度.
( 例:能计算复合,重叠,嵌入图形的面积或体积,如下图:

6-s-02
能认识平面图形放大,缩小对长度,角度与面积的影响,并认识比例尺.
S-3-04
说明:
( 从影印机的缩小放大(如50%),利用实测,知道任两点之间的距离也以相同的比例缩小放大(如变成一半),但是角度没有变化.
( 介绍地图的使用,认识比例尺,并经由地图的实测来计算距离.
6-s-03
能理解圆面积与圆周长的公式,并计算简单扇形的面积.(同6-n-14)
N-3-23
S-3-07
说明:
( 先介绍圆周率的概念,知道这是圆周长对直径的比值.
( 圆面积可用扇形剖分的方式,大致说明圆面积等於半径×圆周长之半,因此等於圆周率×半径×半径.也可用直接告知的方式.
( 利用比例的概念,说明简单扇形(圆,圆,圆,圆,圆等等).
6-s-04
能认识面与面的平行与垂直,线与面的垂直,并描述正方体与长方体中面与面,线与面的关系.
S-3-08
说明:
( 学生先具体观察,知道长方体对面互相平行,邻面互相垂直,对面与对应顶点连边垂直.再利用长方体为工具,说明一般空间形体面与面垂直,面与面平行的意义.但不必说明面垂直与面平行的严格定义.
6-s-05
能理解简单直柱体的体积为底面积与高的乘积.(同6-n-15)
N-3-24
S-3-10
代数
6-a-01
能理解等量公理.
A-3-03
说明:
( 能理解在等式两边同加,减,乘,除一数时,等式仍然成立.
( 可在课堂进行天平的操作,理解等量公理.
( 除了应用到单步骤未知数问题的解题外,也可以用来判别两分数之相等或比较大小.
( 在操作上,教师也许可以处理较复杂有趣的解题,但当要运用等量公理到未知数问题时,应限定在单步骤问题(见5-a-04与6-a-02),让学生体认如何以等量公理重新思考解题的意义即可,较复杂之两步骤问题是国中阶段的课题.
6-a-02
能将分数单步骤的具体情境问题列成含有未知数符号的算式,并求解及验算.
A-3-04
A-3-05
说明:
( 本细目和五年级的差别主要在於整数和分数的差别,由於分数情境远比整数复杂,教师可藉此再重新做分数教学的整合.
( 求解的方法可用加减互逆,乘除互逆,或等量公理.
( 单步骤指的是未知数之计算步骤为单步骤,如下例:
1+=3, +=1;
- 6=, 2 -=1;
×=12, ×=;
÷=, ÷=.
6-a-03
能用符号表示常用的公式.
A-3-06
说明:
( 本细目为「检查细目」.藉由其他课题的教学,让学生理解用符号代表数的好处.
( 例:
正方形的面积= ×,其中为正方形的边长.
长方形的面积= ×,其中,为长方形的两邻边长.
直柱体的体积= ×,其中为底面积,为高.
6-a-04
能利用常用的数量关系,列出恰当的算式,进行解题,并检验解的合理性.(同6-n-13)
N-3-18
A-3-02
A-3-03
A-3-04
A-3-05
统计与机率
6-d-01
能整理生活中的资料,并制成长条图.
D-3-01
说明:
( 学童可将现成资料,藉由次数,数量,人数,百分率做成长条图.
( 例:由报纸上知道下面关於各国每人每日垃圾量的资讯(中国时报88.6).
台湾每个人每天的垃圾量为1.14公斤,日本1.09公斤,新加坡1.10公斤,德国1.09公斤,美国2.00公斤,南韩1.07公斤,英国1.34公斤,法国1.53公斤,荷兰1.58公斤.学童学习可将上述资料绘制成如图1的长条图,再从中讨论其意义.
( 长条图也可以百分率表示资料的量,这时学生可能在整理资料后,制表计算百分率后,再画成长条图.例如:对50位国小男生最喜欢的休闲活动做调查后,将各项活动的人数加以整理后如表1,再制作长条图,如图2.
表1
活动别
打篮球
跳绳
阅读
聊天
画图
人数
15
7
8
12
8
百分率
30%
14%
16%
24%
16%
图2 男生休闲活动百分比长条图
( 告知学童可利用「波浪线」节省绘制的空间.
6-d-02
能整理生活中的有序资料,并绘制成折线图.
D-3-01
说明:
( 本阶段,不宜引进变数或函数的概念,仅须以时间,数量的变化来说明有序资料.
( 可使用在一种有序变化下,如时间改变,数量变化等,同时对应几个变化的资料制作折线图,来了解对应变化间的关系.
( 教学上,资料不宜过於复杂,折线以不多於两条为宜,并告知学童可利用「波浪线」节省绘制的空间.
( 例:小可在暑假中某一天,每两小时量一次气温,从早上六点记录到晚上八点.如表2,再制作折线图,如图3.
表2
时间(时)
6
10
12
14
16
18
20
气温(○C)
32
34.5
37
38
37
36.5
35
图3 气温折线图
( 告知学童可利用「波浪线」节省绘制的空间.
6-d-03
能报读生活中常用的圆形图,并能整理生活中的资料,制成圆形图.
D-3-01
说明:
( 若重视资料的相对比例,可以用圆形图来表现.教学时,可以各组次数除以所有资料次数总和所得的百分率或比值,转换成圆心角的角度后来制作圆形图.因此圆形图教学必须在扇形教学之后.
( 教学时若牵涉到较复杂的百分率,则应提供已制好的一百等分之圆形图卡,供学童制作圆形图.
( 例(续6-d-01):将50位国小男生最喜欢的休闲活动,利用表1制作圆形图,如图3和图4,两者的差别,在於呈现人数或百分率.
图3 男生休闲活动人数圆形图
图4 男生休闲活动百分数圆形图
7.七年级细目诠释
数与量
7-n-01
能理解质数的意义,并认识100以内的质数.
N-4-01
说明:
( 能理解质数与合数的定义,并能检验100以内的任何数,哪些是质数,哪些是合数.
( 能理解埃拉托赛尼(Eratosthenes)的方法,找出小於100的所有质数.
7-n-02
能理解因数,质因数,倍数,公因数,公倍数及互质的概念,并熟练质因数分解的计算方法.
N-4-01
N-4-02
N-4-09
说明:
( 本细目指的是在正整数的范围中,理解正整数的因数,质因数,倍数,公因数,公倍数以及质因数分解等.
( 能由寻找正整数的因数和倍数的过程理解短除法,和质因数分解的计算方法.
( 质因数分解的计算要能熟练,但正整数位数不宜过高.
( 例:48的标准分解式:
所以48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 16 × 3,其中2,3称为48的质因数,而1,2,3,4,6,8,12,16,24,48皆为48的因数,且48则为1,2,3,4,6,8,12,16,24,48的倍数.
( 例:求48,72的的最大公因数与最小公倍数.
仿上,72的因数有1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72,则两数最大公因数为24,亦可由短除法求得两数的最大公因数:
则两数的最大公因数(72,48)= 23 × 3或24,而两数的最小公倍数
[72,48] = 24 × 32 = 144
( 例:求48,72,90的最大公因数,最小公倍数.
(48,72) = 24,所以 (48,72,90) = (24,90) = 6
[48,72] = 144,所以 [48,72,90] = [144,90] =720
( 做正整数的质因数分解时,其质因数以不大於100为宜.
( 两数最大公因数为1时,称这两数互质,如 (24,35) = 1,所以24与35互质,明显的24与35亦没有共同的质因数.
( 能解相关应用问题.
例:一数既是2的倍数,也是3的倍数,那麼一定也是哪个数的倍数 为什麼
( 例:两个连续的正整数相乘等於30,求此两个正整数的和.
因为30 = 5 × 6,所以此两整数是5,6,其和 = 5+6 = 11.
正整数的因数分解的练习有助於学生学习十字交乘法,如下例.
例:若两个正整数相乘为80,但其和为奇数,求此两正整数.
因为若80 = ×,且+为奇数,则此两数,中恰有 一为奇数.
除了因数1以外,80的因数中只有5为奇数,所以
80 = 1 × 80
= 5 × 16
即此两正整数为1,80或5,16.
7-n-03
能以最大公因数,最小公倍数熟练约分,扩分,最简分数及分数加减的计算.
N-4-02
说明:
( 衔接N-2-03,N-2-06,加入负数的四则运算,并有能力将计算结果化为最简分数.在国中阶段学习分数的四则运算,为了达到便於沟通与辨识之目的,应鼓励并建议学生在计算过程中要视有无需要,来决定是否要将计算过程的分数化为最简分数,但应鼓励或建议学生将最后的答案化为最简分数.然而测验时,除非有特别指定要将计算结果化为最简分数,否则所有相对应之等值分数仍宜视为正确.
( 例:=,
7-n-04
能认识负数,并能以「正,负」表徵生活中性质相反的量.
N-4-05
说明:
( 能认识负数是比零小的数,如零下5度是指零度还低5度的温度,而-5,分别是比0小5,的数.
( 正,负数在生活中的应用是指能利用正,负数来表徵生活中性质相反的量,如若往东10步记为+10,则往西4步记为-4;第一周公司盈余 5000万记为+5000万,第二周若亏损1000万则记为-1000万.
( 介绍负数后,将使得数在生活中应用更加方便.例如:公司在第一季获利1325万元,第二季赔4578万元,第三季赔1038万元,第四季赚4238万元,那麼公司在这一年的赚或赔可列成1325-4578-1038+4238 =-53或者列成1325+(-4578)+(-1038)+4238 =-53,即赔53万元.
( 能认识在数线上5与-5是和原点距离相同,但方向相反的位置,所以5和-5互称为相反数.
( 能辨别两个负数的大小.例如:-5是比0小於5的数,-8是比0小於8的数.由於5-8.
介绍过绝对值后,可用绝对值来比较两个负数的大小.
7-n-05
能认识绝对值,并能利用绝对值比较负数的大小.
N-4-05
说明:
绝对值在数学上的定义是
若>0,则= ;若<0,则=-,若 = 0,则= 0,
但这样严谨的定义,不一定需要在国中阶段出现,在国一阶段学习绝对值应采用较直接且直观的方式教学较佳,例如:, 一个正数的绝对值就是它自己 , 一个负数的绝对值就是把它的负号去掉后的数,而0的绝对值还是0,所
以 (把负号去掉)

( 当学生学会负数的加减计算后,应该要理解有绝对值算式的计算,例如:
10-和10-(-6) 的不同.
( 绝对值在国中有两个比较重要的应用:一个是用来比较负数的大小,另一个是用绝对值来表达数线上的两点距离,见7-n-08.
( 两个负数,如果其绝对值愈大,则其值就愈小.例: = 15,= 18,因为-18.
7-n-06
能理解负数的特性并熟练数(含小数,分数)的四则混合运算.
N-4-05
N-4-06
N-4-08
说明:
( 国中数感的培养,除了对实例要有数感外,更需要培养涉及正负符号的数感.
( 在学习负数或培养上述的绝对值严谨定义的前置经验,是要打破「若代表一数,则-通常是负数」的错误观念.因此教学上,应将以实例如:-2,等代入,逐渐养成「-虽然有负号在前,但是-也可能是正数」的观念.如此,承续上面的例子,在教学上应让学生举例说明何时=-.
( 能理解一个数加上另一个数后,不一定比原来的大.换句话说,要由是正数或是负数才能决定+是否比大或比小:
+正数>
+负数,则要能认识到这时是正数;而若<,则是负数.
( 能理解无论是正数或是负数,-永远代表的相反数.
( 能理解无论是正数或负数,+(-) = 0
( 能理解无论,是正或负,+(-) = -以及-(-) = +
能理解的相反数就是,即
-() =
因为 + () = = 0
所以是的相反数,但是的相反数也可以记成,
所以 =
同理也可以说明的相反数是
( 能理解会随,的符号不同,而其值会有很大的差异.例如:
,但是
能理解负号和分数的关连,如

( 能理解 永远大於或等於0.
7-n-07
能熟练数的运算规则.
N-4-08
A-4-02
说明:
( 本细目的运算规则指的是交换律,结合律,分配律.
交换律:
结合律:
分配律:

上面是交换律,结合律,分配律标准的型式,但也要理解其它变化的型式,如
.
能分辨
与 的不同.
( 除了上述的运算规则,另外去括号的规则也很重要,如
;
( 国中阶段需要熟练交换律,结合律,分配律.在国一的阶段应先从实例开始,例如:理解如何利用交换律,结合律,分配律来简化繁杂的计算,最后能达到符号计算熟练的地步,如
( 980+76-376 = 980+( 76-376 )
= 980-300 = 680
( 25 × 89 × 4 = ( 25 × 4 ) × 89 = 8900
(
(
(
(
( ( ≠ 0, ≠ 0, ≠ 0)
( ( ≠ 0, ≠ 0)
上面应用运算规则到简化的例子,在教学上,要配合训练学生的观察能力.
( 国一以后应加深这些运算规则的代数操作.
7-n-08
能理解数线,数线上两点的距离公式,及能藉数线上数的位置验证数的大小关系.
N-4-07
说明:
( 在数线上,我们称0的位置为原点,且应将负数(负整数,负分数,负小数)标记在原点的左边,正数标记在原点的右边.标记时,知道数线上愈右边的数愈大,愈左边的数愈小,如-100<-3<01之符号来表示所有大於1的数范围,并能在数线上标记.
( 能以之符号来表示所有小於或等於3的数的范围,并能在数线上标记.
( 能以之符号以及数线上常用的标记来表示所有大於1且小於3的数的范围,并能在数线上标记.
任意两个数(量),可能相等,或者不相等.如果不相等,比较之后,其间必有大或小的关系.这些大,小关系分别以>,<来记录.例如:-1<0,0<1,-2<-1,-11等等.
( 在建立数线的时候,除了先定下0的位置和单位长度之外,一个基本的约定是大的数永远记在小的数的右边,因此正数全在0的右边而负数全在0的左边,如下图所示
( 0或-<0.如果=0,上式相当於「0同义」
在数线上说明(0同时成立)
以及(>0,<0同时成立)
和(<)
7-n-10
能理解指数为非负整数的次方,并能运用到算式中.
N-4-09
说明:
( 能理解的意义,其中为自然数,为任一数,如
(-1) 6 = (-1) × (-1) × (-1) × (-1) × (-1) × (-1) =1
( 能理解当≠ 0时,= 1.
( 例:,[36, 48] =
( 能理解如下例的计算:
( 能理解<,也就是当0<,也就是当>1时,如果n愈大,则的值愈大.
7-n-11
能理解同底数的相乘或相除的指数律.
N-4-09
说明:
( 能理解乘法的指数律:; ; ,其中,为大於0的整数,,为任意数.
( 能理解除法的指数律:,其中≠ 0, ( .
( 能理解= 1,其中 ≠ 0.
7-n-12
能用科学记号表示法表达很大的数或很小的数.
N-4-10
说明:
( 科学记号表示法是将正数表示成,其中1.由於是的倍,所以 >.
学生遇到比例的问题时,会遇到解题上的困难是因为问题里常包含许多变量,而无所适从.所以上述提到的概念较能培养做比例问题的直觉,有助於解决比例问题.
( 由比值的计算,介绍繁分数.(见7-n-15说明)
( 比例问题在日常生活中或自然科技中有很广泛的应用,因此国中学习比例,其中最重要的是要能认识哪些问题可用比与比例式来解决.常见的比例问题有:折扣,加成,利率,汇率,密度,浓度,速度,比例尺等.
( 例:由「相同比例的食盐与水可以调出一样咸的食盐水」想法,介绍重量百分浓度(简称浓度).
浓度3%的食盐水500公克中有公克食盐.
浓度3%的食盐水500公克与浓度7%的食盐水1500公克混合后为浓度
( 例:身高180的人影子长为1,此时影子长150的树之实际高度为多少
( 例:已知书局将全部书籍以相同折扣出售,定价 80元的书以56元售出,那麼定价 110元的书将以多少元售出
( 例:一辆时速90的汽车在高速公路上等速直线行驶45分钟的距离为多少 这段距离在比例尺的地图上会是多少公分
( 将浓度10% 的食盐水1000公克一杯,倒掉杯中食盐水100公克,再加入100公克清水,然后再倒掉杯中食盐水100公克,再加入100公克清水.请问此时这杯食盐水的浓度是多少
( 密度,速度是正比,反比的例子.时间相同时,距离和速度成正比.
例:甲每6分钟走740公尺,乙每6分钟走820公尺,求甲,乙两人的速度比
甲速度 : 乙速度 = 740 : 820 = 37 : 41.
距离相同时,时间和速度成反比.
例:甲每分钟走75公尺,乙每分钟走90公尺,若甲,乙两人走完1000公尺,则甲,乙两人所花的时间比
因距离相同(都是1000公尺),所以
甲所花的时间 : 乙所花的时间 = 90 : 75 (成反比)
= 6 : 5
( 面积相同的矩形,长与宽成反比;体积相同的长方体,高与底面积成反比.
7-n-14
能熟练比例式的基本运算.
N-4-04
说明:
( 由 ,得到 及
( 例:由 ,得到
( 例:若 ,则 ,
( 例:若 ,得 3 = 44,解得 = 4.
( 例:若 且 ,则令 , 解之.
( 例:,在上,且 ,则
7-n-15
能理解连比,连比例式的意义,并能解决生活中有关连比例的问题.
N-4-03
N-4-04
说明:
( 例:,则
( 例: 则
( 例: 则
( 例:将3400元按3 : 6 : 8分给甲,乙,丙三人 , 每人各得多少元
( 例: 则
( 例:中,,,三边长分别为10,12,15,则其边上的高之比为= 6 : 5 : 4
( ,两个正方形的面积比为25 : 12,而,两个正方形的面积比为3 : 4 , 请问,两个正方形的边长比为何
因为,两个正方形的面积比为3 : 4 , 所以,两个正方形的面积比为4 : 3 = 12 : 9 , 因此,,三个正方形的面积连比为25 : 12 : 9 , 我们就知道,两个正方形的面积比为25 : 9 , 边长比为5 : 3.
我们也可利用,两个正方形的面积比为25 : 12, 而,两个正方形的面积比为3 : 4, 得到
的面积 = 的面积x
的面积 = 的面积x
因此,
我们就知道,两个正方形的面积比为25 : 9,边长比为5 : 3.
应注意,在国中阶段不宜出现过於繁复之繁分数计算,建议将重点放在理解繁分数计算与分数除法计算之关系.在以上例子中,宜将繁分数计算转换回分数除法,再来计算,避免直接套用算则.
( 已知买8公斤的苹果的钱与买9公斤的梨子的钱相等,现在用买10公斤的苹果的钱可以买几公斤的梨子
( 小明走5分钟的路程,小华走了6分钟,而小英只走了4分钟,请问小明,小华与小英的速度比为何
( 现有一些100元,500元,1000元的钞票,合计16500元.已知100元,500元,1000元的钞票的张数比为5 : 4 : 3,请问各有多少张
( 一杯浓度20%的糖水,加入浓度10%的糖水300公克后,变为浓度15%的糖水,问原有这杯浓度20%的糖水是多少公克
代数
7-a-01
能熟练符号的意义,及其代数运算.
A-4-01
A-4-02
说明:
( 能理解用,,,…,,,等符号代表一个数,以及数和符号构成算式的意义.例如:,+2,+,(-1) ×等算式的意义.
( 能理解代数式中的符号约定.例如:,
( ×可记成 (,因此2 ×或× 2均记成2或2 ( .
( 1 × ,1 ( ,1均记为,(-1) × ,(-2) × 分别记为-, -2.
( 符号和分数的等式:
,其中代表,而代表4 ( ÷ 7

( 能对算式中相同的文字符号,常数进行合并或化简.
( 例:化简5+1-8-2.
( 例:化简2-+5+2+1.
( 能理解并能以符号表徵交换律,分配律,结合律等的运算,×=×,× (+c) = ×+×,+ = (+1).
7-a-02
能用符号算式记录生活情境中的数学问题.
A-4-03
A-4-04
( 以,等符号记录生活情境中的数学式.
( 例:若有5元邮票张,则可列出5元代表邮票面额总值.
( 例:若有5元邮票张,2元邮票张,则可列出( 5+2)元代表面额总值.因此,当=2,=2时,邮票面额总值为14元.
7-a-03
能理解一元一次方程式及其解的意义,并能由具体情境中列出一元一次方程式.
A-4-03
A-4-06
A-4-07
说明:
( 例:「老师带两盒一样的口香糖,要发给全班32个小朋友,如果每人发2条,总共还剩8条,问每盒装几条口香糖 」.依题意,设每盒口香糖有条,则可列出一元一次方程式= 8.
( 例:「小明带50元到书店买彩色笔后只剩1元.若每枝彩色笔售价为7元,问小明共买几枝 」.依题意,以x代表彩色笔的数量,则可列出一元一次方程式7+1 = 50.
( 例:(年龄问题)「小丽今年12岁,爸爸与小丽的年龄相差24岁,再过几年爸爸的年龄是小丽的两倍 」.依题意,小丽的年龄 = 12岁,爸爸的年龄 =(12+24)岁,设再过年后,爸爸的年龄是小丽的两倍,则可列出一元一次方程式12+24+ = 2 (12+).
( 方程式解的意义就是方程式中未知数所代表的值,也就是能使方程式的等号成立的所有值.具体操作时,可将数值分别代入等号左边与右边的式子,判断两式之值是否相等.
7-a-04
能以等量公理解一元一次方程式,并做验算.
A-4-05
A-4-07
( 能理解等量公理「等式左右同加,减,乘,除一数(除数不为0)时,等式仍然成立」的概念.如: 已知=,则+= +, -=-c,×= ×,÷=÷( ≠ 0).
( 透过生活经验中「对等量之物做相同之运作仍会等量」的观念,进而理解移项法则.
7-a-05
能利用移项法则来解一元一次方程式,并做验算.
A-4-07
说明:
( 能理解等号的对称性表示:若=,则=.如:若已经知道2+3 = 5,则5 = 2+3,即为数量等号对称性之表现.又如:若2 = 3,则3 = 2,即为式子的等号对称性之表现.本细目也强调让学生理解等号的对称性,如此将有助於了解-2 = 8即为8 =-2.
( 以等量公理延伸至更具演算功能的移项法则,例 -3= 6, = 6 ÷(-3)解得= -2,且宜协助学生养成写答案时将未知数写在等号左边的习惯.
( 例:解 -+ 8 = 7+ 6 …………(1)
2 = 8 ……………(2)
8= 2 ……………(3)
得到= 1/4. 其中步骤(2)至(3)是引用等号对称性质.若学生已能理解所有步骤时,应引导他(她)们省略步骤(2).
7-a-06
能理解二元一次方程式及其解的意义,并能由具体情境中列出二元一次方程式.
A-4-03
A-4-09
说明:
( 二元一次方程式解的意义就是方程式中,所代表的值,也就是能使方程式的等号成立的所有,值.一般不要求学生将二元一次方程式的解一一求出,可利用代入法或枚举法检验或找出方程式的一些解,同时让学生知道二元一次方程式的解不是唯一的.
( 例:小玉想用60元全部购买5元及2元的邮票,若设5元邮票张,2元邮票张,则可以二元一次方程式5+2= 60来求解.
( 检验二元一次方程式的解是否符合题意.
( 例:妈妈买了梨子与苹果两种水果平分给全家人.梨子的个数是苹果个数的3倍,苹果每人分到2个,还剩3个,梨子每人分9个,则不够3个.请问梨子与苹果各有多少个
若家人个数为,则梨子与苹果的个数分别为 9-3 与 2+3.
又已知梨子的个数是苹果个数的3倍,所以 9-3 = 3 ( 2+3 ),得到= 4,因此梨子与苹果的个数分别为33个与11个.
若苹果的个数为, 梨子与家人的个数分别为 3与 (-3) ÷ 2,又已知梨子每人分9个, 则不够3个,所以 3= 9(-3) ÷ 2-3,得到 = 11,因此梨子与苹果的个数分别为33个与11个.
( 例:一艘船沿河流行驶,往来於相距75公里之甲,乙两港口间,已知逆流行驶时需要花5小时,顺流行驶时需要花3小时,若水流速度不变且船速保持稳,请问船在静止水中之速度为何 水流速度为何
( 例:甲校的图书数量6倍等於乙校的图书数量5倍,如果甲校又买了400本新书,则甲,乙两校的图书数量比变为8 : 9.请问甲,乙两校原有的图书数量各是多少
7-a-07
能理解二元一次联立方程式,及其解的意义,并能由具体情境中列出二元一次联立方程式.
A-4-03
A-4-12
说明:
( 二元一次联立方程式的解就是方程式中,所代表的值,能使二元一次方程式的等号同时成立的所有,值.
( 例(鸡兔问题):仓库中有一种轮胎100个,可以装在六轮的小货车上,也可以装在四轮汽车上.今天装配了22辆车子,刚好将轮胎都用光,请问这些车子中,有几辆是六轮小货车,有几辆是四轮汽车
( 设六轮小货车有辆,四轮小货车有辆,则可列出二元一次联立方程式


来求解.
7-a-08
能熟练使用代入消去法与加减消去法解二元一次方程式的解.
A-4-12
说明:
( 能使用代入消去法与加减消去法解二元一次联立方程式.
( 解题时,可引导学生先观察要用那一种方法较简易.
7-a-09
能认识函数.
A-4-01
A-4-04
说明:
( 这是第一次介绍函数,因此应该多从生活的实例来介绍,什麼数量是什麼数量的函数.学会函数的语言是国中学习函数的重点,比较严谨性的数学定义是要留待高中以后再教.
例如:下表是将水加热时,加热的时间和水温的表
时(分)
0
3
6
9
12
15
18
水( ℃)
25
45
65
85
100
100
100
由表知,只要给定时间,就能得到水温,因此温度是时间的函数.反之,知道温度是100℃,并不能完全知道加热的时间,所以时间不是温度的函数.
( 不需出现自变数与应变数的术语.
( 不要出现f(),g() 等函数符号.
7-a-10
能认识常数函数及一次函数.
A-4-01
A-4-04
说明:
( 是的一次函数,即= +,其中≠ 0.
( 是的常数函数,即= .
( 例:摄氏温度与相对应的华氏温度之关系为一次函数,如,其中代表摄氏温度,代表华氏温度.
7-a-11
能理解平面直角坐标系.
A-4-10
说明:
( 由数线扩展至二维的直角坐标,并介绍相关定义及内容(含纵轴,横轴和象限之术语,直角坐标系上坐标的定义,在直角坐标系上描出已知数对应的点,四个象限上的符号规则等).
( 能运用直角坐标及方位距离来标定位置(不以勾股定理来计算距离).
( 例:学生能利用直角坐标系标定教室中的座位.
( 例:能知道台风中心在某处(如:恒春)东方100公里的意义.
7-a-12
能在直角坐标平面上描绘常数函数及一次函数的图形.
A-4-11
( 以描绘已知点的方法来绘制一次函数的图形,如,并观察其图形成一直线的现象.
( 能利用一次函数的图形是直线,画出一次函数的图形.
( 常数函数的图形是一水平线.
( 常数函数及一次函数都称线型函数.
7-a-13
能在直角坐标平面上描绘二元一次方程式的图形.
A-4-11
说明:
( 将二元一次方程式,其中,皆不为0,改写成一次函数的形式,得知二元一次方程式的图形是一直线.
( 的图形是一水平线.
7-a-14
能理解二元一次联立方程式解的几何意义.
A-4-11
A-4-12
说明:
( 能认识二元一次联立方程式的解就两个对应二元一次方程的直线图形的交点.
( 建议在七年级只处理会相交且只有一个交点的情况,其余的情况可不在国中处理.
7-a-15
能理解不等式的意义.
A-4-08
说明:
( 能理解>5是表示
(1) 某个大於5的数.
(2) 是大於5的任意数.
( 能理解不等号「(」是表示大於或等於,不等号「(」是表示小於或等於.
( 能理解>是相当於->0,<是相当於-<0.
7-a-16
能由具体情境中列出简单的一元一次不等式.
A-4-03
A-4-08
说明:
( 本细目所谓简单的一元一次不等式是指
,

( 例:若饮料一杯20元,塑胶袋一个1元,想以不超过50元来购买杯饮料及一个塑胶袋,则可列出20+1 ( 50.
( 例:某小学有100位同学含老师参加毕业旅行,校车一辆可以载30人,另租中型巴士每台可载20人,问至少要租中型巴士几台
答:设至少租中型巴士台,则需满足20+30≥100
7-a-17
能解出一元一次不等式,并在数线上标示相关的线段.
A-4-08
说明:
( 能理解不等号的递移律(如>,>,则>,或是如<, <,则<).
( 以移项法则找出形如 +5<8,2+80,的解为
<的解为<
(2) <0,的解为

( 能将上述的解题应用到例如:等的不等式.
7-a-18
能说明a ( x ( b时y=cx+d的范围,并在数线上图示.
A-4-11
说明:
( 在进行一次函数教学时,再复习当在某些范围时,变化的范围.
8.八年级细目诠释
数与量
8-n-01
能理解二次方根的意义及熟练二次方根的计算.
N-4-11
N-4-12
说明:
( >0,称为的二次方根,或称为(正)平方根,读为根号a,国中阶段只讨论有理数的平方根.
( 能理解仅能在不为负数时才有意义.
( 理解,等.
( 能理解如 皆为3的平方根,其中为3的正平方根,-为3的负平方根.
( 能理解恰好有2个解,即为.
( ,…等这些开根号的数对学生来讲是新的数,因此引进学习,的动机,对学生能学好这些新的数是非常重要.从数学史来讲,发现不是分数也是一件很重大的事情.因此,教材的编写应有这方面的适当说明.
( 能用毕氏定理或正方形的面积边长关系等不同方式来理解,…等开根号数的意义.
( 在,等数的教学中,利用毕氏定理理解这些数可用尺规作图方式得到.
( 能熟练正有理数的二次方根计算,如
,



( 能熟练时,,及.
( 能比较含有根号的数大小,例,,
所以.
8-n-02
能求二次方根的近似值.
N-4-11
说明:
( 能理解如的整数部分.
( 能以几何方式理解1.4<,弧长>,
弧长>,弧长>,
所以
弧长+弧长+弧长+弧长>+++
因此,圆的周长大於四边形之周长.
(两点间的距离以直线最短)
(等量公理)
例2:如右图,与 为圆之平行两弦,试证明 弧长=弧长.
证明:
连接,
因为 与平行,
所以
因此 弧长=弧长.
(已知)
(内错角相等)
(等角对等弧)
例3:若为三个正整数,且满足,试证明可以整除.
证明:
由
得

因此
所以 可以整除
(已知)
(方差公式)
9-s-13
能认识线与平面,平面与平面的垂直关系与平行关系.
S-4-01
说明:
( 初次学习线与平面,平面与平面的垂直关系与平行关系时,我们以直观且可操作为教学之重点.
( 长方体的每个面都是矩形,任两条相交之稜线互相垂直.
( 长方体之侧面与底面垂直,长方体的高与底面垂直.
( 正如同直角三角板是检查平面上两线垂直或平行的方便工具,我们将用长方体 来检查两平面垂直或平行,一直线与一平面垂直.
( 利用长方体之侧面与底面垂直来理解,若两平面能同时与一长方体之侧面与底面紧密贴合,则两平面互相垂直.
( 利用长方体的高与底面垂直来理解,一已知直线及一已知平面能同时地分别与一长方体的高及底面紧密贴合,则此一直线垂直於此一平面.
( 利用长方体上相交的稜线互相垂直来理解一已知直线垂直於平面,且交於一点,则此平面上通过交点的任一直线都与直线互相垂直.

( 能藉由长方体的高与上下两平行底面均垂直的已知现象理解一直线同时垂直於两已知平面,则这两个平面互相平行.

能利用毕氏定理求长方体中相隔最远的两顶点距离.
9-s-14
能理解简单立体图形.
S-4-01
S-4-02
说明:
( 本细目所指的简单立体图形包括球,直角柱,直角锥,圆柱,直圆锥等.
( 由空间中多边形的面所围成的立体图形称为多面体.
( 能理解柱体与锥体的顶点,面,边等组合因素.
( 上下底为两个全等多边形,且侧面均为矩形的柱体叫做直角柱.
( 下底为正多边形,且侧面均为等腰三角形的锥体叫做正角锥.
( 上下底为两个全等圆形,且两底圆心之连线会垂直於上下两底的柱体叫做直圆柱.
( 下底为圆形,且锥的顶点与底面圆心的连线垂直於底面的锥体叫做直圆锥.
9-s-15
能理解简单立体图形的展开图,并能利用展开图来计算立体图形的表面积或侧面积.
S-4-01
S-4-04
说明:
( 本细目的教学目标在於利用展开图,求立体图形的表面积,特别要处理直圆柱,直圆锥,正角锥的情况.
( 国中阶段只处理直角柱,直圆柱,直圆锥与正角锥之展开图.避免从过於复杂的展开图反推原有的立体图形.
( 能利用展开图来计算长方体表面上两点之最短距离.
9-s-16
能计算直角柱,直圆柱的体积.
S-4-01
S-4-04
说明:
( 直角柱及直圆柱的体积均为底面积乘以高.
代数
9-a-01
能理解二次函数的意义.
A-4-04
说明:
( 以实例来理解二次函数,()的意义.
( 例如:正方形面积与边长的关系为.
( 例如:由给定之实际观测数据来理解自由落体或抛掷物体时,因为受到地心引力的影响,物体与地面的距离是时间的二次函数.
9-a-02
能描绘二次函数的图形.
A-4-18
说明:
( 因为在抛掷物体时,物体因为受到地心引力的影响,使得物体与地面的距离是时间的二次函数,所以我们也经常称二次函数之图形为抛物线.
( 以描点的方式绘制二次函数之图形 (),并能察觉图形的对称轴及最高点或最低点.
( 以描点的方式绘制二次函数之图形 ( ).发现图形的对称轴及最高点或最低点,并能察觉此图形与二次函数图形之关系.
( 以描点的方式绘制二次函数之图形 ( ).发现图形的对称轴及最高点或最低点,并能察觉此图形与二次函数图形之关系.
( 能察觉二次函数图形之对称轴是直线.时,图形开口向上,其最低点是();时,图形开口向下,其最高点是().
( 能利用二次函数理解二次函数的对称轴是通过其最高点或最低点的铅垂线.
( 能利用对称轴与最高点或最低点之知识,快速描绘二次函数的大致图形.
( 能将二次函数以配方法推演成,找出顶点坐标()及图形的对称轴,然后描绘其图形.
9-a-03
能计算二次函数的最大值或最小值.
A-4-17
说明:
( 能由函数图形中理解二次函数的最大值或最小值.
( 能由列表理解二次函数有最大值或最小值.
( 能利用配方法,将二次函数写为,
若,则,因此的最大值为;
若,则,因此的最小值为.
9-a-04
能解决二次函数的相关应用问题.
A-4-17
A-4-18
说明:
( 利用二次函数图形的顶点及开口方向,求得二次函数的最大值或最小值.
( 例如:所有周长为已知正数的矩形中,以正方形的面积最大.
( 例如:抛掷物体时,物体与地面的距离是时间的某一个已知的二次函数,则求出此二次函数的最大值,就可以知道抛掷过程中,何时达到最高点及最高点与地面的距离.
( 认识开口向下的抛物线与水平轴的两个交点,为其对应一元二次方程式的根,也为物体抛射运动的水平起点与落点.
统计与机率
9-d-01
能将原始资料整理成次数分配表,并制作统计图形,来显示资料蕴含的意义.
D-4-01
D-4-02
D-4-03
说明:
( 学生应循序渐进,在非分组的情况,学习各种统计图表之制作,并计算各种统计指标(9-d-02,9- d-03).等观念清楚后,再学习分组的处理方式,并知道分组的使用时机.
( 将资料发生的「次数」或「人数」视需要加以排序或分组整理而成的表格统称为次数分配表.「相对次数」是将各笔或各组资料的次数除以总次数所得的比值.
( 「累积次数」则为经排序或分组整理后,依序累加至各笔或各组资料的次数;「累积相对次数」则为依序累加至各笔或各组的相对次数.累积次数或相对累积次数可以让人知道资料在整体中所占的相对位置.
( 例: 中山国中三年一班的数学科第一次段考成绩总表,如下表:
表1,三年一班各组成绩相对次数折线图
座号
1
2
3
4
5
6
7
8
成绩
5
64
35
78
36
43
44
82
座号
9
10
11
12
13
14
15
16
成绩
83
48
52
55
58
64
65
68
座号
17
18
19
20
21
22
23
24
成绩
69
70
74
35
79
80
78
45
座号
25
26
27
28
29
30
成绩
47
33
84
75
85
89
老师若想了解成绩分布情形,可以把成绩整理成如下的统计表.
表2,三年一班各组成绩次数表
分数
0-20
20-40
40-60
60-80
80-100
人数
1
4
8
11
6
全班人数=30
习惯上,0~20这一组是指成绩大於或等於0分且小於20分的学生;
20~40这一组是指成绩大於或等於20分且小於40分的学生;
40~60这一组是指成绩大於或等於40分且小於60分的学生;
60~80这一组是指成绩大於或等於60分且小於80分的学生;
80~100这一组是指成绩大於或等於80分且小於或等於100分的学生.
表3,三年一班各组成绩相对次数表
分数
0-20
20-40
40-60
60-80
80-100
人数
0.03
0.13
0.27
0.37
0.20
表4,三年一班各组成绩累积次数表
分数
0-20
20-40
40-60
60-80
80-100
人数
1
5
13
24
30
表5,三年一班各组成绩累积相对次数表
分数
0-20
20-40
40-60
60-80
80-100
人数
0.03
0.16
0.43
0.80
1.00
这样,老师知道有将近一半的学生成绩不及格.也知道,例如:全班有13位,或43%的同学数学需要再加强.
( 统计学中,条形图分为长条图,直方图两大类.长条图适合用於表现离散的资料,因此各长条以适当的距离间隔来表现资料的离散性;直方图则适合用於表现连续的资料,因此各长条间并无间隔,且资料应依序排列.
( 国中阶段统计的教学宜以有序且具连续性的资料为主,统计图形则以直方图,或折线图为主.
( 「次数图」及「相对次数图」之制作皆依各组之顺序在横轴上标示其位置,再依各组的次数或相对次数,来制作直方图,则如图1的次数图即以直方图的样式来呈现,而「相对次数图」是将次数图之次数改为相对次数(如图2).
图1,成绩人数直方图
图2,相对次数直方图
( 各图形亦可以折线图表示,习惯上,制作次数折线图或相对次数折线图时,会以组中点(各组中点)来代表该组之资料值(图3和图4)而在制作累积次数折线图,或累积相对次数折线图时,则常以各组的右端点来取折点,这样才符合累积的意义(图5和图6).
图3,三年一班各组成绩次数折线图
图4,三年一班各组成绩累积相对次数折线图
图5,三年一班各组成绩累积次数折线图
图6,三年一班各组成绩累积相对次数折线图
( 在没有特定的使用目的限制下,习惯上,组距的大小可以(最大值-最小值)÷(组数)来订定.重点是,统计图表要能协助使用者清楚呈现他想表达的资讯.
9-d-02
认识平均数,中位数与众数.
D-4-01
D-4-03
说明:
( 平均数,中位数与众数均可以某种程度地表示整笔资料集中的位置.
( 平均数是指所有资料值的总和除以总次数;中位数是将资料排序后,前后各切成一半的中间位置资料值;众数是次数最高的一个或一组资料值.
( 能认识平均数,中位数与众数在不同之分组状况下的可能差异.
( 平均数,中位数会使落在两边的资料呈现出某种「平衡」状态.平均数是量的平衡,中位数则是个数的平衡,而众数是落在出现次数最高的位置,与平均数,中位数有差别.平均数对於资料中有特别大或特别小的数特别敏感,中位数则不受影响.以 { 1, 2, 3, 4, 5 } 和 { 1, 2, 3, 4, 500 } 两组资料为例,第一组的平均数,中位数均相同,但第二组的中位数不变,平均数则为102,而以三年一班数学成绩为例,平均数和中位数很接近.
( 知道当资料值平移或乘上某个不为0之定数时,众数,中位数,平均数皆会相对应变化.例如:美国某城市的华氏气温资料,在转换为摄氏之后,其众数,中位数,平均数的变化.
( 知道将几份同类资料合并时,平均数的计算方式,并知道这只和各资料次数占总次数的相对比例有关.
9-d-03
能认识全距及四分位距,并制作盒状图.
D-4-02
D-4-03
( 全距是最大数与最小数的差,全距大通常表示资料较疏散,全距小则是指资料较集中.以三年一班数学成绩为例,最大数与最小数分别为89与5,所以全距为84.
( 认识第1,第2,第3四分位数(可记为1,2,3 )的意义,知道如何运用资料的相对累积次数分配表来找出1,2,3.知道第2四分位数即中位数;四分位距则为第3四分位数与第1四分位数的差,即3-1.以三年一班数学成绩为例,1,2,3分别为45,64.5,78,则四分位距为33.
( 能理解当存在少数特别大或特别小的资料时,四分位距比全距适合来描述整组资料的分散程度.
( 我们可由四分位距和全距间的差异性来描述整组资料的分散程度.以三年一班数学成绩为例,由图7的盒状图我们很容易看出资料集中在1 到 3 附近.我们也可以盒状图,如图8,来分析几组资料间的关系.
( 关於四分位数的定义,一般并没有统一的取法,很多处理资料的统计软体所用的四分位数定义也不一样.因此学生应先确切学习取四分位数的原理,再学习可能的算则.为求整体一贯,应优先教导能将第1四分位数等同於第25百分位数(9-d-04),第3四分位数等同於第75百分位数的算则,再将其他方法视为方便法.
( 能引导学生使用电脑软体,如具电子试算表或基本计算功能的程式语言,处理较大笔资料的计算,也可以附加的绘图功能来制作统计图形;也可引导学生使用电算器,处理数量不太多的资料(如例1)的统计量.
9-d-04
能认识百分位数的概念,并认识第10,25,50,75,90百分位数.
D-4-03
说明:
( 百分位数和中位数,四分位数一样,可以表示某资料组在总资料中的相对位置.学生应能自资料之相对累积次数分配表求出百分位数.
( 知道百分位数通常用於分析总次数多的资料,避免在资料数少的例子中,做百分位数的教学.
( 知道第25百分位数相当於1,第50百分位数相当於中位数,第75百分位数相当於3.
( 知道第10百分位数与第90百分位数可以作为与大部分资料偏离的指标.例如:九十年度台闽地区十五岁男生身高之第10百分位数约为158公分,第90百分位数约为176公分.这表示约有10%的十五岁男生,身高矮於158公分,另外约有10%的学生身高高於176公分.
( 国中统计之教学首重原理的理解.由於资料众多又离散,许多统计量都只有近似的意义,教师在评量时,应尽量避免在不精确的资料情境下,询问需精确回答的问题.
9-d-05
能在具体情境中认识机率的概念.
D-4-04
说明:
( 生活上,一般人经常要做决策,处理相当多不确定性的事务(缘於本质上随机的原因,结构复杂的原因,或资讯不足的原因).虽然在人类史上,使用清楚的数学方法来处理不确定性的概念,是相当晚近的事情,但是机率论及其在科学上的应用已经非常重要,因此学生应慢慢开始学习.
( 由於机率概念的掌握并不容易,因此应先从最清楚,易学习的机率观—古典机率开始学习.在适当的脉络中,假设每一基本事件出现的机会相同,并由此定义机率的意义与计算方式,同时,学生应知道机率等於0与机率等於1的意义.
( 所谓适当的脉络,通常指有对称性的情境(例如:铜板,骰子,扑克牌,抽球等),此时学生直观上容易相信每一基本事件出现的机会相同,并能由直观来辅助学生学习机率的基本意义.
( 可引入树状图的工具,来协助计算所有可能的事件.例如:「掷一粒公正的骰子两次,求出现点数和为10的机率.」此时需先能计算掷骰子两次会出现的所有可能性.
( 从重复实验的机率计算中,学生应慢慢体会随机独立的意义.古典机率的计算虽然是基於公平原则,但不表示投掷一铜板,若第一次出现正面,第二次就要出现反面.学生最后需能体认,即使投掷一铜板已出现100次正面,下次投掷仍然有一半的机会是正面,一半是反面.
( 应能恰当处里统计资料的相对次数本身所具有的机率意涵,例如:「在全班学生中任意抽一名学生,则其成绩在80分以上的机率是多少 」,可以使用最有弹性的「抽球」模型来,将原来的统计资料转换成抽球的问题来说明.
( 若教学时数足够,可以再说明简单的统计机率概念.可先介绍丢掷时有两态(如图钉,圆锥,爻杯)的物体,并让学生理解,由於物体不对称性,因此各态出现的机率通常并不是.并告知学生如何利用重复试验的方式,估计机率大概是多少,并让学生能初步体认,如果试验越多次,所获得的机率资讯越可靠.
附录二 五大主题说明
本附录包含「数与量」,「几何」,「代数」,「统计与机率」和「连结」等五个主题的说明,其内容包含:主题的理念,目标,重要概念,教学注意事项等.
1.数与量
数与量在国民教育的数学课程中具有主要的地位,其主要概念的形成与演算能力的培养均奠基於国小阶段,而在国中则延伸至负数和根号数的教学.因此,这一主题的学习可分为国小(一年级至六年级),国中(一年级至三年级)二阶段来说明.
(1)国小阶段(一年级至六年级)
国小数与量的范围较大,因此分为「整数」,「量与实测」,「有理数」和「估算」等子题.
A.整数
在国小阶段,整数指的是自然数和0,所处理的是离散量的计数与计算.整数教学是国小数学的核心课程之一.课程安排应善用学生在入学前,已有的各种计数与解题能力,在既有的基础上恰当地统整,厘清并扩张其经验.
整数计算是一切数学学习的基础.在教学中,学童经由活动,情境掌握计算的意义,藉著各种例子体验计算的规则与策略.流畅的计算能力,有如语文学习中,基本的文字驾驭能力,不仅可以内化学童的数字感,并且是日后(国,高中)学习抽象运算及形式推导的基础,这样的能力固然是学习科学所必须,也是能够有效处理日常生活的基本能力之一.
培养流畅的计算能力,应注意以下几点:
a.计算程序的发展有其严格性,必须每个环节都能掌握,才会有扎实的计算能力.
b.在理解运算意义时,固然可以多样举例,但在学习计算程序时,则可运用恰当的例子(如币值),让学生能顺利掌握计算的方式.
c.计算程序本质上较为抽象,也因此才能应用於各种不同的情境,在理解各种运算的意义后,就应该慢慢脱离情境,做各种计算的练习.
d.计算的练习必须要多样化,让学生能从各种角度熟练四则运算的性质与程序.
e.学生应该养成简单心算与验算的习惯.
f.计算时能运用四则运算的性质,协助心算与估算,简化计算,验算与解题.
国小整数教学的课程目标在於:
a.从计数开始,学习位值的约定与换算,并在演算中,逐步熟悉,最后能掌握大数.
b.在二年级下学期,理解算术的枢纽—九九乘法,作为日后所有计算的基础.
c.到四年级时,能够不拘泥於位数,熟练加,减直式计算,五年级则熟悉乘,除直式计算.
d.五年级时熟悉整数四则混合计算与相关运算律.
e.在五,六年级时,理解基本的因数分解与质数概念,并与分数运算相互加强,建立完整的数字感.
B.量与实测
除了日常生活的重要应用外,量的学习也是学生学习连续量的入口,可以与有理数的学习相互加强.其中又以长度的教学最为关键:长度是学生保留概念最早成熟的量,也是最容易操作的量,长度的测量是分数与小数教学的自然入口,同时也是学习数线的典型模型.经由长度之经验,学生学习如何在数线上做比较与加减运算,由此将整数与有理数彻底整合,作为日后学习负数,实数,几何的基础.
量与实测是国小数学的核心课程之一,其中量包含长度,重量,容量,时间,角度,面积,体积等生活中常用的七种量.其中长度,容量,角度,面积,体积属於几何(视觉)量.
国小量的学习,原则上要经过初步认识,常用单位,单位换算,量的计算的阶段,尤其要注意在应用问题中,恰当的和分数,小数结合.
a.初步认识:在初步阶段,学生应从日常情境中认识该类量的意义,并能做简单自然的度量,并进而体认该类量比较大小的意义.
b.常用单位:认识某类量之常用单位,并能运用此单位,做量的比较,加,减,乘,除.
c.单位换算:在测量时,首先能用复名数来描述测量结果.然后再利用单位换算的约定,来进行换算.
d.量的计算:结合直式计算,复名数,单位换算的经验,解决日常生活中量的计算问题.
不过各种量的初步认识阶段,除了长度量最为标准之外,仍应依量的特性,而做不同的处理.
角度:角度量虽然是和长度类似的一维量,但是其引进却和面积经常混淆,教师应小心处理.
容量:此量的初步认识虽然和体积相关,但是在更进一步的教学应用中,则变成和长度的一维量类似(如量杯),教师应特别处理.
面积,体积:这两种几何量牵涉到复杂图形的认知困难,前期的复制与比较均不好处理.教学宜从较直观或简单情况的大小判断开始,然后直接引用最易处理的正方形或正方体为单位,从并排或堆叠的经验中,对面积或体积蕴生更有意义的量感.
重量:重量不是视觉的几何量,牵涉到身体的体感,即使是左右手持重物比较,也不是真正的比较.因此宜从器械如天平的学习入手,由对称的直观知道天平两边重量比较的意涵,并以此来完成重量的初步比较.其次,再由器械如公斤秤,学习重量的单位.
时间:由於时间无法复制与保留,因此除了「同时同地」进行事件时间长短之比较外,不存在真正的比较.所以时间量的学习,和重复规律计时的标准器械(如钟表)的使用,有非常密切的关系.学生时间量的学习,应从器械入手,透过约定单位的学习,再慢慢掌握时间的量感.
另外,量的教学还有几个教学要点:
a.在学习常用单位时,应先从最常用的单位先学起,和生活情境相结合.之后再随生活经验的扩充,延伸到更大或更小的单位.
b.学习最常用的单位时,要从实测来培养量感,并养成基本的估测能力.
c.常用单位,一方面遵守中央标准局之约定,另一方面也鼓励教师,配合生活情境,自行补充其他日常生活常用的单位(如:米,cc,ml,坪,台斤等).
d.长度,面积与体积作为量来教学,经常与几何主题有许多重叠之处,因此有一些指标是量与几何共用.
C.有理数
有理数是小学的核心课程之一,也是小学数学教育中,最有挑战性的教学主题.有理数教学的困难主要在於:它牵涉两种非常不同的表现形式—分数与小数;它的应用课题很广—平分,测量,比例,比率,比值,部分/全体;学生较缺乏有理数的前置经验,日常生活中的有理数情境也比整数少;分数的形式是学生首次碰到两整数并置的约定,一方面分数计算的熟练,仰赖整数的精熟,另一方面整数计算的经验,有时反而会造成有理数学习的错误;甚至,有理数的概念理解与形式程序的学习,有时会互相干扰,然而有理数数感的建立,却又依赖两者在反覆应用练习中,彼此增强.
什麼是稳当的有理数教学,并无定论.但是基本的共识是,学生需要较长的时间,来学习掌握有理数的概念;不论是先形式程序,或者先概念理解,两者都必须不断互相支持;在有理数教学中,必须将材料做适当的安排,先从较容易的平分或测量入手,而将其它的应用课题,作为锤鍊有理数数感的课题;运用数线作为模型,将自然数,分数与小数结合在一起,汇聚成「数」的观念.
小学的有理数教学,必须厘清,练习并连结下述有理数的四种意涵,最后归结成日后数学学习中,有理数最核心的意涵—「除的意涵」:
a.平分的意涵:学生在低年级认识人我分际之后,就会发展出强烈的公平感,因此从平分入手学习分数,是一条比较容易的途径,也比较容易化解分数学习中常见的认知冲突.
b.测量的意涵;长度测量是低年级就发展的数学课题,在以个别单位度量长度,为了解决剩下部分的「余数」约定时,就能同时发展小数与分数两种课题.由於单位的强调,测量是调和「部分/全体」的意涵与带分数认知冲突中的重要工具.
c.比例的意涵:比的原理,是一种微妙的平分方式,因此学生比较容易接受.即使学生尚未学习比例式,透过比的方式,仍然可以协助学生解题.最后再透过比值的引入,一贯地解决比例的问题.
d.部分/全体的意涵:部分/全体虽然是分数的重要意义之一,但是由於概念较为抽象,而且真分数的暗示过深(全体为1),可能造成假分数或带分数学习上的困扰,必须透过单位的强调来解决其认知冲突.
另外,建议在分数教学的早期,可以使用单位分数为计数单位,教导假分数的约定与计算,这能与自然数,测量单位的学习,相互加强.
D.估算
估算是过去数学教学中,较被忽略的课题.一般来说,数字感较好的学生,通常都能够使用估算的技巧,来协助计算,验算与解题.而经由估算课题的教学,也更能促使学生对数学概念,程序计算,解题三者间的连结,有更深入的理解.
估算在国民教育中可粗分为离散量的估算(自然数四则运算的估算)与连续量的估算.前者的教学,应在学生已经能掌握确算后再进行.而后者的教学,应透过测量时量不尽的正常情境,与小数的教学共同开展,认识小数之细分与精确度的要求乃是一体的两面.最后,结合两者,养成掌握误差,施行估算的能力.
估算的教学,可以先在计算与验算中强调,让学生能对不合理的答案,透过估算剔除;然后是,能判断应用问题对答案精确度的要求,并藉由过去的解题经验,发展正确的估算策略;或者是,能针对问题与解答,发展估算策略,验算解答的合理性.要注意的是,估算属於较高层次的数学能力,学生必须先对所使用的概念程序与问题情境有相当的理解,才能恰当地估算,进而能正确判断估算的时机与精确度的要求.
国小估算教学,要特别注意评量的问题.切忌因为强求估算,禁止学生使用正常计算.教师应在评量的问题上下功夫,让问题本身暗示估算的好处.
例:在计算75-27时,请学生从20,50,70三个答案中,选择最合理的答案.
例:小明有25元,小华有40多元,两个人想要合买80元的巧克力,可能吗
(2)国中阶段(一年级至三年级)
数与量的学习是整个国中数学的基础,也是学习的第一个重点.对数与量有充分的了解与掌握之后,才可以进一步的学习其它的学习领域(代数,几何,统计与机率).
A.负数
在七年级时,数与量的学习乃是国小阶段的延续,但是在概念与操作的层次上则有所不同.七年级引入的新数是负数,把自然数与正有理数的范围推广到整个整数及有理数.负数的引入可藉由日常生活中「赚赔」,「输赢」,「进货出货」等相对经验来引入,延伸学生在小学已经建立的数量应用经验,由此了解相反数,绝对值,以及一般的四则运算.
数系包含负数之后,整个运算律的形式可以获得大量的简化,学生在七年级,应该要知道乘法和除法是同一种运算,加法和减法是同一种运算,由此知道小学许多运算律,其实本质上都一样(例如:加减混合,连减其实都是连加的表现).
负数的学习最后要总结成日后常用的几何模型—数线,扩张国小的数线经验,并作为日后学习直角坐标的基础.学生应知道坐标的意义,并知道如何在数线上呈现绝对值,相反数,比较与运算的几何意义.
最后,则介绍在自然科学中非常重要的科学记号表示法,一方面作为负数的一种应用,另一方面也让学生明白数量级的概念.
B.比例关系
比例关系是日常生活与自然科学中经常用到的数量关系,本身有这非常丰富的性质,可以视为乘除关系的重要延伸.比例关系有两种看法:一是倍数相同的观点,一是比值相等的观点,两者对於解决实际的应用问题都很重要,学生必须熟稔两者,才算是真正掌握了比例关系.
比例关系的具体表现是比例式,由倍数或比值的观点,都可以归结到「外项相乘等於内项相乘」的结果.在比例的计算中,可以自然的引入繁分数的记法与计算.
比例在国中阶段有两个延伸课题,一个是连比,可以使用倍数关系来解释,在几何中可以应用到相似三角形或多边形的判别;一个是常用的正比与反比的关系,这又可以连结国中另一个重要课题,作为函数关系的特例.
C.根号数(方根)
由毕氏定理或面积与边长的关系,可引入新的数—根号数或称方根.二次方根的学习对学生而言,是一个全新的经验.它不但是一种新的数,而且它是以长度量的方式来引入(不像有理数,负数用数的方式来引入);而根式的计算又和代数运算(尤其是不定元的演算)的成熟度有莫大的关系.
因此在国中阶段,介绍方根时有几个要注意的地方:
a.至少要合理说明不是小数,甚至不是分数.让学生知道他真的在学习一种新的数.
b.需仔细以几何的长度量说明根号数作为一个「数」的依据,让学生能够将简单的根号数标在数线上,而且能用逼近的方式掌握根号数的大小,这些都是要让学生对根号数产生数感的方式,避免学生将根号数当做抽象的代数符号.
c.利用简单的逼近法处理根号数时,位数不要太多,重点在於学生能掌握概念,而不是复杂的运算.
d.发展根式的运算宜分成两个阶段,第一阶段清楚处理单纯根号数的化简;第二阶段再处理根式的运算,此阶段学生必须对代数演算有相当的成熟度,尤其是分配律.
D.数列与级数
在数列与级数方面,应先教导学生观察日常生活中有趣或具有规则性的离散量模式(即数列),进而利用归纳的思维,整理出它们的规则性.学生可以先观察相邻两项的关系,进而掌握写出数列的规则;在较简单的例子,也可以要学生以数学符号(代数形式)表示数列的一般项.无明显模式的资料数列,将在九年级统计与机率中处理.
国中要详细处理的数列与级数是等差数列和等差级数,由於符号的运用繁多,教学上要先清楚交待等差数列与级数的基本意涵,避免学生迷失在复杂的抽象符号中.
2.几何
人是视觉的动物,为了生存,人类天赋的「形」或「几何」直觉,远比一般人所想像要丰富坚实.典型的视觉影像处理—如直线,图形的边缘,平行与垂直,对称,全等操作,放大缩小,图形识别等,对人类大脑轻而易举,却是电脑处理的重大挑战.因此,几何不但是数学教育中的重要课题,而且也是较易学习,较有趣的教学单元.
(1)国小阶段(一年级至六年级)
几何形体的理解包含察觉,操作,构造,推理证明等诸面向.小学教师在从事几何教学时,必须避免自己欧氏几何训练的干扰,避免处处受制於定义的认定与逻辑顺序.由历史来看,人类是先由应用,操作,实践中,认识各种几何要素与性质,彼此之间并没有一定的先后关系.欧氏几何的价值,首先是对这些先民知识的归类与整理,其次才是作为知识典范的演绎系统.
因此小学的几何教学,可以参考几何历史发展的轨迹与学童认知发展阶段,尽量让学童发挥,拓展其几何直觉,在操作中,认识各种简单几何形体与其性质,再慢慢加入简单的推理性质与彼此之间的关系,为以后衔接国中几何的教学,打下良好的基础.
国小的几何教学要点说明如下:
A.一年级到三年级:较强调几何形体的认识,探索与操作,学生对几何形体中的几何要素,也许能指认,但尚不清楚其结构意义.
B.四年级到六年级:由於数与量的发展逐渐成熟,学生开始结合「数」与「形」两大主题,学习运用几何形体的构成要素(如角,边,面)及其数量性质(如角度,边长,面积)来描述特殊几何形体的特徵与性质.
(2)国中阶段(一年级至三年级)
国中几何教学的目标,首先在於提供学生日后有用的核心几何知识,其次是提供丰富的背景,可以展示数学推理证明的过程与威力,而推理能力的培养正是国中数学教育的重点之一.
国中的几何学习,乃由直观,归纳转入几何推理与证明.几何教学起初仍然以学生的几何直觉经验为前导,但开始强调几何观念的明确定义,及几何相关量的计算,甚至代数演算,学生同时应开始学习阅读几何性质的严格推理,最后,再学习自己动手写出较短的证明.这对於日后数学逻辑推理能力及以抽象为主的高中数学学习皆很重要.
不过,传统教学上几何和证明绑得太紧的现象,产生了两个问题.首先是以为学习几何等於学习欧氏几何证明.但如前述,国中的几何学只是提供展示证明过程的背景,几何学仍然有本身的核心观念,超越於形式的证明之上.如果过份注重琐碎形式证明的结果,甚至以为证明就是国中几何的全部,反而无法完成国中几何的教学目标.我们也要提醒教师,欧氏几何本身虽然有相当多美丽的性质,却不等於国中几何教学的目标,教师切勿过度延伸,补充过多却无用的几何材料.
传统教学上几何和证明绑得太紧的第二个问题是,以为谈证明就只能在几何教学中谈.但如前述,几何的确提供了丰富的背景,来展示证明的过程,但这不表示在国中其他数学教学时,就可以忽略严谨性.事实上,推理能力的培养,应贯彻在国中的整个数学教学中.
国中阶段的几何课程的核心概念是毕氏定理,全等,相似,对称,并将之应用於常见的几何图形如三角形,四边形,多边形,圆等,而得到许多特殊图形上的个别性质.
我们特别强调下面几点:
A.七年级需要学习一次函数或二元一次方程式的图形是直线.在绘图上,学生固然直观的相信这是一条直线,但是通常教师在这个阶段并无法做合理说明.
这个尴尬,是因为这正是学生从经验学习走向推理学习的过渡阶段,我们要到八年级后半,才将直线作为一个严格推理的主题,而到九年级处理相似概念时,才有足够的推理工具来完整说明.这个课题本身是代数和几何连结的具体范例,能够让学生学习数学知识建构的完整性,也可以作为高中解析几何的前置经验.
另一个类似的例子是毕氏定理的证明,也需要在完整的三角形全等定理学习后,再做一次说明.
B.对称性是几何学习的核心概念,对称性的观察既直观,有效率,又深具威力,各种对称图形(无论是三角形或多边形,还有圆)永远是几何学习中的重要对象,而对称性的深化更是日后几何和其他数学领域,科学领域结合时的重要桥梁.
线对称概念是最基本的对称,应该在国中时期,让学生充分认识并学习如何应用线对称的想法於思考,解题与证明.例如:所有等腰三角形的基本性质,只要对称性便能充分说明,若学生能学习观察到这一点,将可以简化几何的学习,还能掌握重点.
C.缩放与相似是相关的概念,学生应确实理解几何图形在缩放前后的变化性质(例如:直线变到直线;线段长成比例;角度不变等),并知道若一图形缩放后和另一图形全等,则此两图形称为相似.这麼一来,相似的概念可以当下直接用到所有几何图形上.
传统教学上,通常只是很快将放大与缩小作为动机后,就开始进入三角形的相似性质,导致许多学生进入高中大学后,谈到相似就只记得零碎的性质如三角形AA相似性质等,无法对相似有一个更整体的掌握,因此纲要特别要求修正这项缺失.
3.代数
(1)国小阶段(一年级至六年级)
在民国82年版的「国小数学课程标准」中,代数的题材比较少,较容易造成学生进入国中后学习的不适应.这次纲要修订在国小高年级部分,加入一些题材:包括运用未知数做数学表示式,理解等量公理等,希望能协助衔接国中的代数教学.
由於算术的学习仍然是国小数学学习的主体,所以在解题策略的发展上,应尽量让学生做多方探索,避免让代数工具过早抑制学生的想像力.因此国小的代数主题,几乎都是为了国中的代数学做前置铺陈,关於四则运算符号与性质的指标,都只是检查性的指标,在教学与课本的安排上,应并入数与量的教学中,不该独立成特别的教学单元.
国小代数题材安排特色:
A.能理解常用算术符号的使用方式,并用来列出日常问题的算式,以进行解题.
例:关系符号如:=, ; 运算符号如:+, -, ×, ÷; 未知数符号如:□, 甲, 乙, x, y.
B.从最基本的加减问题开始,详细安排两步骤至多步骤的教学次序,并依序安排四则运算规律的教学,从整数到分数,小数,在具体情境中,了解各基本运算之性质,并应用於不同教学目标的教学.
例:加法交换律,结合律,乘法交换律,结合律,乘法对加法的分配律.加减互逆,乘除互逆.=, 的递移律.
C.从最基本的加减问题开始,到四则混合计算,让学生最后能独立於生活与具体情境,在形式与程序上,流畅进行整数计算,其中包括并式演算的能力,并活用运算律於简化计算.横式演算与运算律都是国中代数符号演算的重要基础.
D.协助发展对数学问题之解题策略.
例:代入法,加减互逆,乘除互逆,反向思考解题,比例推理解题,比值解题,更复杂之混合策略解题(如传统应用问题).
E.能理解等量公理.
(2)国中阶段(一年级至三年级)
纲要已在国小铺陈代数预备经验,到国中引入「以符号代表数」的想法,正式进入代数学习的世界.包括代数演算,运算律,解方程式,函数关系以及和几何连结的直角坐标.
教师应强调,国小解决应用问题(例如:线段图方法)和国中解应用问题(方程式)的差异,以及抽象代数方法的普遍性与优越性(例如:国小许多类问题,从解方程式的观点,可能都是一元一次方程式).另外,代数的能力包含逻辑与符号的推演,可培养学生的抽象思考能力.即使是几何推理的素材,也经常需要藉由代数方法来导出新观念或新性质.
国中代数题材安排:
A.以符号代表数
以符号代表数,是学习代数学的关键与难关.这里有四个层次:首先是国小纲要已要求使用符号来记录常用的公式,由熟悉的公式入手,可以减轻学生对抽象符号的恐惧;其次,是用符号来表示运算律(包括指数律),学生在此可体认符号简化并厘清数学叙述的威力;第三,是解题时,用符号来表达问题中的数量关系,作为解方程式的准备,这里符号所代表的是特别的数,而不是一般的数,因此认知上更困难;最后,是用一些符号来表示一般的数量关系或函数关系,这不只是用符号代表数,而是用符号来表示关系,属於更抽象的层次.
依照此认知难度,纲要(建议)将第一层次放在国小高年级,第二层次摆在国一初期,第三层次摆在国一后期解方程式的单元,第四层次则放到国一下中的比例与函数单元.另外,教师应清楚解释代数表示式中的常数部分和变数部分的区别(例如:指数律,多项式).
B.代数演算与分配律
以国小高年级的横式计算与化简为基础,国中要开始学习代数演算,作为所有代数计算的基础,其中最关键的就是分配律.在并项演算,乘法公式(包括和平方公式,差平方公式,平方差公式),分解因式,配方法这些重要的代数课题中,使用分配律的成熟度都是学习的核心.事实上分配律也是根式运算的重要基础.
我们要特别指出配方法的学习,是国中代数教学的重点之一,这是因为处理二次形式的问题,遍及高中(大学)数学的代数和几何题材.
C.解方程式
解决应用问题是数学教育的重要目标,而解方程式则是解题活动中,既重要又较有系统的一环.整个国中的代数教学,应养成学生解题的习惯:观察题意,以符号将问题中的数量关系列成方程式,最后在解出方程式,并观察解是否符合题意.
国中会遇到的方程式,包括主要的一元一次方程式,二元一次方程组,一元二次方程式,以及较次要一元一次不等式与二元一次方程式.其中最根本的解方程式原理为等量公理,二次方程式尚牵涉到分解因式与配方法的想法.要让学生确实认识配方法的想法对解二次方程式的重要性,而不是死记公式法.
另外,学生应有机会针对同一问题(例如:鸡兔问题类),观察以国小方法解题,以一元一次方程式解题,以及以二元一次方程组解题的区别.让学生思考这些方法的差异.
D.函数关系与函数图形
由国小至国中,很多常用的数量关系最后会总结为函数关系,学生应理解当一组数x能决定另一组数y时,就决定了一种函数关系.
由於函数关系较抽象,教学上应避免在一开始就引入较抽象又没有用处的y=f(x)符号,也应避免做过份抽象的定义.只要学生能从个例中,先熟悉常数函数,一次函数与二次函数的种种计算,性质与图形,可以到国中最后再总结这些经验,引入y=f(x)的符号.
理解函数的重要环节是看到坐标平面上的函数图形,另一方面,要能有效率绘制函数的图形,则又需要更深入理解函数的性质.绘制函数图形,通常先从折线图入手,画出大概的图形,然后让学生知道代点画法的局限(以二次函数图形为例较恰当),引出学生学习函数性质的动机.
4.统计与机率
数学上一般所学习的数,量,形的知识,都是确定的知识,但是生活中有相当多的问题,牵涉到庞大的资料或甚至含有某种不确定性,需要学习其他的观点,才能处理.
庞大紊乱的资讯通常需要先对资料进行分类整理,再计算某些统计量,才能对资料的结构有初步的理解;而含不确定性的问题则需要学习机率论的知识,由於机率论的概念不容易掌握,因此学生通常先由较直观,简单的古典机率观点先学起,然后再简单介绍统计机率的观点,处理更一般的问题.
在学习统计的知识时,应先从生活经验和环境取材,从学生感兴趣的主题出发,先学会如何将简单的生活资讯分类,计数,并依问题的目标,制作恰当的统计图表,计算常用统计量来呈现这些资讯,以达到厘清结构或与他人沟通的目的.
国中机率论的学习,只在国三阶段做最基本的介绍,其中以古典机率的教学为主,最后可带入部分统计机率的主题,作为高中数学学习的前置经验.
统计和机率的学习,大致依下面的阶段来学习:
(1)三年级之前:先藉由简易表格的制作,协助学生建立资料的整理与分组的概念,进而练习报读常见的一维表格和二维表格,说明其内容,并能回答与该资料有关的问题.此阶段的问题应与「数与量」的教学做连结.
(2)四年级:以简易几何图形和二维表格报读的前置经验,开始引进长条图与折线图两种统计图表的教学,学习报读生活经验中的资料统计图与折线图,在折线图的教学中,应使用有序的资料,让学生体认折线的意义.这阶段的教学尚不宜引进百分率,小数或分数来表现资料的量.
(3)六年级:由於学生相关「数与量」的学习较成熟,因此可以开始学习自己整理简单的资料,制作长条图,折线图.另外也可开始做圆形图的报读与制作.由於学生对相对比值,百分率已有概念,也可开始使用「频率」的角度来整理统计资料,和比率或比值教学互相加强的.
(4)九年级:开始学习记述统计中的基本概念,以解读(有序)资料的结构.一方面介绍整理原始资料时常用之表图,如次数分配表,折线图,直方图(含累积次数),另一方面,介绍常用统计量:众数,中位数,平均数,四分位数,百分位数,全距,四分位距等统计量,来了解资料表现的特质.机率的介绍,著重在古典机率的教学,最后可引入简单的统计机率概念.
由於「统计与机率」主题在国民教育阶段仍属概念性的教学,较严谨的介绍将在高中,职阶段的数学课程中实施.有关电算器,电脑的使用,应仅视为学习的辅助工具,避免在教学现场影响概念的教学.
5.连结
(1)推理与证明
数学推理能力的培养是数学教育的重点之ㄧ.其实从小学的四则运算开始,学生即已进行有意识的推理活动.以为例,固然在进行运算之后,知道等号的两边都是.但是加法的本质告诉我们总量与分量的联系正是交换律成立的基本原因,因而理解到应用交换律於计算是正确的.类似的操作在四则运算中处处可见.因此在小学的时候不论是计算或是解答应用问题乃至於利用验算来检查答案的合理性都是推理学习的一部分.
如果学生在完成解题之后,尝试说明每一个步骤的合理性,这个说明的过程,就是证明.
国中以几何直觉经验为前导,使用主体或观念的明确定义,探索几何现象并以推理验证(包括与几何有关的计算或代数演算)是教学的重点.其与小学学习不同之处主要是因为
A.由非形式化的推理逐渐提升至形式化的推理.
B.理解推理在几何学习中扮演著提纲挈领的角色.
关於第A点,由於国中生较小学生年长,在语言及文字的呈现和对解题过程的反思都较成熟,因此应该学习如何将推理的步骤具体写出,加强解题时的分析和沟通能力.
关於第B点,小学生在操作四则运算时,每一个步骤的合理性经常是透过算则或是经验法则达成的定律,例如:,但是对於几何图形所拥有的性质,开始学习时并不明显,或是必须依赖特定的图形,或是必须依赖操作的结果,例如:三角形三内角和等於这件事,并不显而易见,又例如:等腰三角形两底角相等,在呈现时,必须依赖一个特定的图形,而非画出所有的图形,因此在建立定律的过程需要透过逐步的推理以建立一个普遍成立的陈述.又如毕氏定理,至少必须透过面积关系才能确认,并非经验法则可以涵盖.
但是就整体的学习而言,观察,判断,尝试做出结论仍然是在推理之前重要的过程.推理并非盲目的逻辑推演,推理代表的是对现象合理的终极分析.因此在学习推理的时候应把握最基本的概念和定律.从定性和定量两个基本的方向,分进合击.定性的部分,包括对称,全等,相似形,定量的部分包括面积公式,毕氏定理和相似形比例关系.
定性和定量之间的重要联系则是由整数量到一般实数量的连续化过程.透过连续化过程,建立了普遍的面积公式以后,可以由面积公式得出毕氏定理和相似形比例关系,而后者正是所有几何定量的基本工具.
掌握学习时什麼是最基本的,或者说在学习中,能够分辨主干和枝叶的区别,正是几何推理对其他学科学习的重要贡献.
不过我们要提醒教师,推理能力的培养,证明的教学并不等於要求学生写出冗长证明.国中的推理证明教学重点在於,学生应能领略证明如何使我们跳脱局限经验,延伸并确保思考正确性的好处,学习阅读并反覆思考推理的过程,进而能够养成自己言之有物的习惯,能够辨认论证过程中容易犯的错误,最后再尝试练习写出较短的证明.
(2)连结的诸面向
数学是依循严谨的逻辑程序而发展成的一个知识体系,它的特点在於能从问题的本质,探究内在深层的模式与结构,无论这些问题原来的表相有多大的差异.因此,数学叙述方式必然是一种抽象形式的语言,这种抽象性是一般人学习数学的最大障碍.
在国民教育的课程里,如何协助学童超越数学形式规则的束缚,是教师教学与编写教科书时该注意的要点.具体而言,课程的设计应注重数学各学习领域内在结构的互相连结,以及数学在生活情境,历史,其它学科(如自然科学)的连结.
一般而言,传统教学多少都会注意到数学内部的连结.举例来说,传统的国中教学方式,通常先代数后几何,教科书编排方式是在代数主题的全部题材或至少绝大部份题材教完后,再转到几何主题教学.这种教学方式,并不是说学童在国一下及国二上学完代数后,在往后的年级里不再学习和代数相关的数学.事实上,在国中的几何课里一般都有许多代数应用的安排,至少包括以代数符号和运算来表达几何图形中量与量的关系,例如:坐标平面上的距离公式,相似形与比例的关系等,并且希望透过对坐标平面的认识,建立坐标几何的初步经验.代数与几何的关系,充分说明了数学内在结构连结的重要性.
传统教材也经常处理数学和生活情境的连结,包括各式各样的生活应用解题,毕竟让学生觉得有用,本身就是学习数学的重要动机之一.事实上,在国小曾经出现过的许多应用问题,在经过重新分析之后,亦应在国中做第二阶段的代数处理,以理解代数方法在解决问题中扮演的角色.这也是让数学内容产生连结的方法之一.
但是传统教材比较忽略两个面向,一个是纵的,时间轴的历史连结,另一个是横向外部领域(尤其是自然科学)的连结.
前面提到,数学对人类文明的发展有重大的影响,从科学史来看,数学的发展和科学的发展密切相连,而且并不仅止於科技,在教学中恰当连结数学史与科学史的材料,往往能让学生更理解数学概念发展的合理性.
数学和科学的联系在传统教材中也不常提及.科学可以视为日常生活情境应用的深化,数学概念的发展相当多得力於科学应用的推动.如果失去这份联系,就会让数学教师对数学知识的价值和重要性上做出失当的判断,也经常使得数学教师视与其他科学的联系为畏途.
数学内部,生活情境,历史,自然(或社会)科学的各种连结都很紧要,我们鼓励教师与教科书编者能在这方面多著墨.
附录三 度量衡列表
本纲要所使用各量的常用单位,系依据经济部标准检验局於中华民国92年6月13日,经标字第09204608060号公告修正之「法定度量衡单位及其所用之倍数,分数之名称,定义及代号」.
类别
单位
说明
长度
公尺(m,又称米)
公分(cm,厘米之俗称)
公里(km,千米之俗称)
毫米(mm)
1公里=1000公尺
1公尺=100公分
1公分=10毫米
重量
公斤(kg,又称千克)
公克(g,简称克)
公吨(t)
1公吨=1000公斤
1公斤=1000公克
容量
公升(l或L)
毫公升(ml,cc,简称毫升)
1公升=1000毫公升
角度
度
一圆周为360度
面积
平方公尺(m2)
平方公分(cm2)
平方公里(km2)
公亩
公顷
1公顷=100公亩
1公亩=100平方公尺
1平方公里=106平方公尺
1平方公尺=104平方公分
体积
立方公尺(m3)
立方公分(cm3)
1立方公尺=106立方公分
1立方公尺=1000公升
时间
日(d)
时(h)
分(min)
秒(s)
1日=24时
1时=60分
1分=60秒
附录四标准用词与解释
1.标准用词表
本表详列一至九年级之数学标准用词,其中年级为该名词必须出现之最晚时间,除非纲要诠释另有规定,否则教师或教科书编者也可以斟酌提前使用.

年级
数与量
几何
代数
统计与机率
数与计算
量与实测
一年级
˙1,2,3,4,5,6,7,8,9,0
˙个位,十位
˙+,加号,加法,被加数,加数,和
˙-,减号,减法,被减数,减数,差
˙=,等号,等於
˙横式,直式
˙几个一数
˙上午,中午,下午,昨天,今天,明天
˙几月几日星期几,几点钟,几点半
˙长,短
˙直线
˙三角形,正方形,长方形,圆形
二年级
˙百位
˙,大於
˙×,乘号,乘法,被乘数,乘数,积,倍
˙年,月,日,星期,时,分
˙几时几分
˙长度,公分,公尺,(直)尺
˙轻,重
˙容量
˙正方体,长方体
˙顶点,角,边,平面
˙边长,正三角形
˙验算
年级
数与量
几何
代数
统计与机率
数与计算
量与实测
三年级
˙千位
˙÷,除号,除法,被除数,除数,商,余数,整除
˙偶数(双数),奇数(单数)
˙分数,分母,分子,几分之几
˙小数,小数点,十分位
˙数线
˙秒
˙毫米
˙公升,毫公升(毫升)
˙重量,公斤,公克
˙面积,平方公分
˙角
˙内部,外部,周界,周长
˙直角
˙圆心,圆周,半径,直径
四年级
˙万,亿,兆
˙概数,四舍五入
˙真分数,假分数,带分数,等值分数
˙百分位
˙公里
˙角度,度
˙平方公尺
˙体积,立方公分
˙垂直,平行
˙平角,周角
˙顺时针,逆时针
˙等腰三角形,直角三角形,平行四边形,梯形
˙锐角,钝角,锐角三角形,钝角三角形
˙顶角,底角,腰
˙对边,邻边,对角(四边形)
˙全等
˙括号
˙长条图,折线图
年级
数与量
几何
代数
统计与机率
数与计算
量与实测
五年级
˙平均
˙因数,倍数,公因数,公倍数,最大公因数,最小公倍数
˙约分,扩分,通分
˙比率,%,百分率,几折
˙千分位
˙公吨
˙公亩,公顷,平方公里
˙立方公尺
˙容积
˙高(长方体,三角形等),底,上底,下底
˙圆心角,扇形
˙线对称
˙球,正四面体,直圆柱,直圆锥,直角柱,正角锥
六年级
˙质数,合数,质因数,互质,短除法
˙最简分数
˙比,比值,正比
˙小数点以下第几位
˙圆周率
˙底面积
˙速度,距离,时间
˙放大,缩小,比例尺
˙圆形图
年级
数与量
几何
代数
统计与机率
数与计算
量与实测
七年级
˙负数,整数,自然数(正整数),绝对值
˙底数,指数,指数律,科学记号(表示法)
˙平方,立方
˙反比,比例式,连比,连比例
˙坐标,数线,数对,直角坐标,坐标平面,x轴,y轴,象限
˙加法交换律,乘法交换律,加法结合律,乘法结合律,(乘法对加法之)分配律
˙大於等於,小於等於
˙一元一次式,一元一次方程式,二元一次式,二元一次方程式,二元一次联立方程式,解
˙一元一次不等式,解的范围,(以不等式表示)数的范围
˙函数,常数函数,一次函数,线型函数,函数图形
˙等量公理,移项法则,代入消去法,加减消去法
年级
数与量
几何
代数
统计与机率
数与计算
量与实测
八年级
˙平方根(二次方根)
˙十分逼近法,近似值
˙根式的化简
˙数列,公差,首项,第n项,等差数列,等差中项,等差级数和
˙尺规作图
˙线段,中点,垂足,垂直平分线(中垂线) ,角平分线
˙对顶角,互补,补角,互余,余角
˙截线,内错角,同位角,同侧内角
˙斜边,毕氏定理
˙等腰直角三角形,菱形,筝形,等腰梯形,正多边形
˙外角,内角,对角线
˙对应点,对应边,对应角
˙对称轴,对称点,对称线,对称角(线对称)
˙弦,弧,弓形
˙乘法公式,和平方,差平方,平方和,平方差
˙多项式,次数,项数,系数,常数项,最高次项
˙分离系数法
˙因式,倍式,公因式,因式分解
˙一元二次式,一元二次方程式,根,重根
˙十字交乘法,配方法,判别式,公式解
年级
数与量
几何
代数
统计与机率
数与计算
量与实测
九年级
˙缩放,相似形,比例线段
˙弦心距,切线,切点,割线
˙连心线,连心距,公切线
˙圆周角,弦切角
˙外接圆,内切圆,内接多边形,外切多边形
˙外心,内心,中线,重心
˙表面积,侧面积
˙二次函数
˙最大值,最小值
˙抛物线,最高点,最低点,对称轴
˙次数,相对次数,累积次数,相对累积次数,次数图,直方图
˙平均数,中位数,众数,四分位数,百分位数
˙全距,四分位数,盒状图
˙机率
2.标准名词解释
数与量
等号
两运算式(数)之值相等,可以'='记之,念为【等於】,如4+3=7.
大於,小於
甲大於4,可以记为 甲>4,或4<甲,前者念为 甲大於4,后者念为 4小於甲.
大於等於,小於等於
甲大於4或者可能等於4,可记为 甲≥4,和甲不小於4同义.也可记为4≤甲,即为4小於或等於甲.
加
4+3=7,4为被加数,3为加数,7为和.
减
4-3=1,4为被减数,3为减数,1为差.
乘
4×3=12,4为被乘数,3为乘数,12为积.
除
14÷4=3…2,14为被除数,4为除数,3为商,2为余数.当余数为0时,称为整除,如12÷4=3.
自然数
自然数1,2,3…为人类用来数物的数,可称为计物数,又称正整数.
整数
正整数,0和负整数合称为整数.
偶数
个位数为0,2,4,6,8的整数称为偶数,又称双数.
奇数
个位数为1,3,5,7,9的整数称为奇数,又称单数.
绝对值
若a≥0,则定义|a|=a,念为a的绝对值等於a,如|7|=7;若a<0,则定义 |a| =-a,如 |-7|=-(-7)=7.
分数
能化为的型态,且p,q皆为整数者其中p≠0,称为分数;p称为分母,q称为分子;若0 最简分数
一分数经化简后(合并符号,约分),若分子与分母的绝对值互质,此分数称为最简分数.
等值分数
一分数分子,分母同乘一整数,所得的分数称为原分数的扩分;一分数分子,分母同除一公因数,所得的分数称为原分数之约分;一分数扩分或约分后所得的分数,其值和原分数相同,称为等值分数.
因数,倍数
一正整数a若能整除另一正整数b,a称为b的因数,b称为a的倍数.
公因数,最大公因数
一正整数a同为两个以上正整数的因数时,则a为这些数的公因数.在所有公因数中最大者称为最大公因数.
公倍数,最小公倍数
一正整数a同为两个以上正整数的倍数时,则a称为这些数的公倍数.在所有公倍数中最小者称为最小公倍数.
质数
一大於1的正整数只有1及本身两个因数时,称为质数.
合数
又称合成数,大於1的正整数中不是质数者称之.
互质
两正整数若除了1以外无其他公因数,则称此两数互质.
质因数
某数的因数如果也是质数,称为该数的质因数.
短除法
判别一数或一数以上的因数时只写出除数和商,并不详细运算除法过程,如
其计算型态为短除法.若除数皆为质数,其过程即称为质因数分解.
平方
一数自乘两次,称为平方.如5×5=25,25称为5的平方.
平方根
a 2=b,b≥0,则a为b的平方根(二次方根),如22=4,(-2)2=4, 2,-2皆为4的平方根,其中2为正平方根,-2为负平方根,合记为(b.
四舍五入
概数(近似值)的取法之一.若一数指定位数之下一位值小於5,则将指定位数之下的数皆记为0(舍去);若大於等於5,则在该指定位数加1,并将以下所有数皆记为0(进入),称为四舍五入.例如:325587在千位四舍五入得326000;3.1416在百分位四舍五入得3.14.
十分逼近法
为估计一数值(如),先找出此数值位於那两连续的整数之间,并视实际需要,可在两数的十等分点再找出连续的两点做逼近估计,依此类推当可求出我们所想知道此数的近似值.
比
两数量以「:」区隔并据以呈现两量之大小关系称为比,如:两人体重比为56:43,披萨个数与价钱之比为2:600.
比值
由比的相等关系,导引出比之前项除以后项,其值不变,称为比值,如3:4的比值为或0.75.
百分率
将一纯小数乘上100后附加%记号,称为百分率,如0.23=23%.
正比
两变量x及y,若可写成关系式y = kx,k为常数(一固定数),则称x,y成正比.
反比
两非0变量x及y,若可写成关系式xy=k,k为非0常数,则称x,y成反比.
等差数列
一数列任意相邻两项的差(后项减前项)皆相等,称为等差数列,其差称为公差,第一项称为首项,最后一项称为末项.
等差中项
若三数成一等差数列,中间项称为等差中项.
等差级数
将等差数列每一项以加号连接求和,称为等差级数.
几何
角
共同端点的两射线所成的角.
锐角
角度小於90度的角称为锐角.
钝角
角度大於90度的角称为钝角.
直角
角度等於90度的角称为直角.
平角
180度的角称为平角.
周角
360度的角称为周角.
顺时针,逆时针
顺著时针转动方向移动称为顺时针,反之称为逆时针.
互补
两角度数和为180度.
互余
两角度数和为90度.
对顶角
两直线相交而成不相邻的两角.两对顶角相等.
锐角三角形
三个内角皆为锐角的三角形.
钝角三角形
有一个内角为钝角的三角形.
直角三角形
有一个内角为直角的三角形.
等腰三角形
有两边相等的三角形.此相等的两边称为腰.
顶角,底角
等腰三角形两腰的夹角称为顶角,另外两角称为底角.若顶角为直角则称为等腰直角三角形.
毕氏定理
直角三角形斜边平方等於两股平方和,又称商高定理或勾股定理.
平行四边形
两双对边互相平行的四边形.
菱形
四边等长的四边形.
筝形
有两组邻边相等的四边形.
梯形
只有一组对边(称为上底与下底)平行的四边形.非上底与下底的两边,称为梯形的腰.
等腰梯形
两腰等长的梯形.
矩形(长方形)
四个角均为直角的四边形.
正方形
四个角均为直角且四边等长的四边形.
多边形对角线
多边形内一顶点和一不相邻顶点的连线段.
多边形内角
多边形内由一顶点和两夹边所连成的角.
多边形外角
若一内角小於180度时,由此角一边向顶点外侧所做的角.若一内角大於180度时,不定义外角.
垂直
两直线交角90度称两直线互相垂直.
垂足
两垂直线的交点.
平行
平面上两直线没有交点,称此两直线互相平行.
周长
一图形周界之长度.
尺规作图
利用直尺(没有刻度),圆规绘制几何图形称为尺规作图.
中点
线段上一点到两端点等距离,称该点为此线段的中点.
垂直平分线
过一线段中点且垂直的线称为此线段的垂直平分线,又称为中垂线.
角平分线
将一角分成两相等角的线称为角平分线,又称分角线.
全等
两图形可完全叠合,称两图形全等.相对应之点,边,角称为对应点,对应边,对应角.
对称轴
若两图形或一图形对一直线线对称,则此直线称为对称轴,相对应之点,边,角,则称为对称点,对称边,对称角.
截线
在同一平面上,直线L分别与直线M,N相交於不同两点,L叫做M与N的截线.
L
M 1 2
N
7 8

同位角
上图中, ∠1和∠5,∠2和∠6,∠3和∠7,∠4和∠8 分别称为同位角.
同侧内角
上图中 ,∠3和∠5,∠4和∠6分别称为同侧内角.
内错角
上图中 ,∠3和∠6,∠4和∠5分别称为内错角.
比例线段
当四个线段中,两个线段的比等於另两个线段的比时,此四个线段称为比例线段.
相似
一图形经缩放后与另一图形全等,则称此两图形相似.
三角形中线
三角形一顶点和对边中点的相连线段.
切线
平面上一直线和一圆只有一个交点称此线为圆的一条切线.
圆
平面上和一固定点等距离的所有点形成的图形称为圆.
此「固定点」称为圆心;此「距离」称为半径;此「图形」称为圆周;圆周上两点最长的距离称为直径.
弦
圆周上任两相异点的相连线段.
弦心距
圆心到弦的距离.
公切线
同时和两圆相切的直线.
圆周率
圆周长与直径之比值成为圆周率,常用的近似值为3.14.
(圆)弧
圆周的一段.
弓形
由一弦和一弧所围的图形.
扇形
圆的两半径和一弧所围成的图形.
圆心角
以圆心为顶点两半径为边所组成的角.
圆周角
圆上一点和通过此点的两弦所形成的角.
弦切角
由过圆上同一点的弦和切线所夹的角.
外接圆
过一多边形所有顶点的圆,称此圆为多边形的外接圆.
内切圆
多边形内部中,与各边相切的圆,称为多边形的内切圆.
外心
若一多边形有外接圆,则外接圆的圆心称为此多边形的外心.外心为各边垂直平分线的交点.
内心
若一多边形有内切圆,则内切圆的圆心称为此多边形的内心.内心为各角平分线的交点.
三角形重心
三角形三条中线的交点.
正四面体
四面均为正三角形的四面体,亦称正三角锥.
正方体
六面均为正方形的正四角柱体.
长方体
六面均为方形的正四角柱体.
直圆柱
上下底为两等圆的直柱体.
直圆锥
由一扇形和圆组合而成的图形.
表面积
一立体图形