第六章 优化与LINGO综合教程
优化问题可以说是人们在工程技术,经济管理和科学研究等领域中最常遇到的一类问题.设计师要在满足强度要求等条件下选择材料的尺寸,使结构总量最轻;公司经理要根据生产成本和市场需求确定产品价格,使所获得的利润最高;投资者要选择一些股票,债券"下注",使收益最大,而风险最小.
许多生产计划与管理分配问题都可以归纳为最优化问题, 最优化模型是数学建模中应用最广泛的模型之一,其内容包括线性规划,非线性规划,整数线性规划,动态规划,多目标规划,决策规划等.
有些人习惯于依赖过去的经验解决面临的优化问题,认为这样切实可行,并且没有太大的风险.但是这种处理过程常常会融入决策者太多的主观因素,从而无法确认结果的最优性.也有人习惯于作大量的试验反复比较,认为这样真实可靠,但是显然需要花费很多资金和人力,而且得到的最优结果基本上跑不出原来设计的试验范围.
为了更准确的达到结果的最有性,接下来本文将讨论的是用数学建模的方法来处理优化问题,即建立和求解所谓的优化模型.虽然由于建模时要作适当的简化,可能使得结果不一定完全可行或达到实际的最优,但是它基于客观规律和数据,又不需要多大的费用.如果在建模的基础上再辅之以适当的经验和试验,就可以期望得到实际问题的一个比较圆满的回答.在决策科学化,定量化的呼声日益高涨的今天,这无疑是符合时代潮流和形式发展需要的.
一,基本介绍
优化模型的三要素
决策变量,通常是某一问题需要求解的未知量,用维向量表示,当对赋值后它通常称为该问题的一个解;
目标函数,通常是某一问题需要优化(最大或最小)的那个目标的数学表达式,它是决策变量的函数,可以抽象的记作;
约束条件,由该问题对决策变量的现实条件给出,即允许的取值范围为,称为可行域,常用一组关于的等式和(或)不等式来界定,分别称为等式约束和不等式约束.
于是,优化模型从数学上可以表述为:
(1)
(2)
(3)
这里opt 最优化的意思,可以是min(求极大,即minamize的缩写)或max (求极小,即minamize的缩写)的两者之一;s.t. (即subject to)"受约束于"之意.
优化模型的基本类型
(1.)决策变量x的所有分量xi均为连续数值
a)f ,hi ,gi都是线性函数,则为线性规划(LP)
b)f ,hi ,gi至少有一个是非线性,则为非线性规划(NLP)
c) f 是二次函数,hi ,gi 都是线性,则为二次规划(QP)
(2.)决策变量x的的一个或多个分量xi取离散值
a) x的至少一个分量只取整数数值,则为整数规划(IP)
b) x的分量限定只取整数0或1,则为0-1规划(ZOP)
(3.)此外,为了解决实际问题的需要,还可以分为:单目标规划,多目标规划,动态规划,多层规划等.
LINGO软件的介绍
这套软件包由美国芝加哥大学的Linus Scharge教授于1980年前后开发,专门用于求解最优化问题,后经不断完善和扩充,并成立LINDO公司进行商业化运作,取得了巨大的成功.全球《财富》杂志500强的企业中,一半以上使用该公司产品,其中前25强企业中有23家使用该产品.
该软件包功能强大,版本也很多,而我们 使用的只是演示版(试用版),演示版与正式版功能基本上是 类似的,只是能够求解问题的规模受到限制,总变量数不超过30个,这在我们目前的使用过程中,基本上是足够.
Lingo是英文Linear Interactive and General Optimizer字首的缩写,即"交互式的线性和通用优化求解器",它可以用来求解线性规划(LP)和二次规划(QP,还可以用来求解非线性规划.
Lingo最大特色在于可以允许决策变量是整数,而且执行速度很快;Lingo实际上还是一种建模语言,即使对优化方面的专业知识了解不多的用户,也能方便的进行输入,求解,并能快速的得到复杂优化问题的高质量的解.
关于Lingo的基本用法的几点注意事项:
Lingo中变量不区分大小写,变量名可以超过8个,不能超过32个,需以字母开头;
用Lingo解优化模型时已假定所有变量非负(除非用限定变量范围的函数@free或 @bnd另行说明);
变量可以放在约束条件右端,同时数字也可以放在约束条件左边;
Lingo模型语句由一系列语句组成,每一个语句都必须以";"结尾;

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