第二节 方差
随机变量的数学期望是对随机变量取值水平的综合评价, 而随机变量取值的稳定性是判断随机现象性质的另一个十分重要的指标.
内容分布图示
★ 引言 ★ 方差的定义
★ 方差的计算
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3
★ 例4 ★ 例5 ★ 例6
★ 例7
★ 方差的性质
★ 例8 ★ 例9 ★ 例10
★ 补充说明
★ 例11 ★ 例12
★ 条件期望与条件方差简介 ★ 例13
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题4-2 ★ 返回
内容要点:
一, 方差的定义
定义1 设是一个随机变量, 若存在,则称它为的方差, 记为
方差的算术平方根称为标准差或均方差, 它与具有相同的度量单位, 在实际应用中经常使用.
方差刻划了随机变量的取值与数学期望的偏离程度,它的大小可以衡量随机变量取值的稳定性.
从方差的定义易见:
(1)若的取值比较集中,则方差较小;
(2)若的取值比较分散,则方差较大;
(3)若方差, 则随机变量以概率1取常数值,此时也就不是随机变量了.
二, 方差的计算
若是离散型随机变量,且其概率分布为
则
若是连续型随机变量,且其概率密度为 则
利用数学期望的性质, 易得计算方差的一个简化公式:
.
三,方差的性质
1. 设常数, 则;
2. 若是随机变量, 若是常数, 则
3. 设是两个随机向量,则
特别地, 若相互独立, 则
注: 对维情形, 有: 若相互独立, 则
四, 条件数学期望和条件方差简介
由于随机变量之间存在相互联系, 一个随机变量的取值可能会对另一随机变量的分布产生影响, 这种影响会在数字特征上得到反映. 下面要讨论的是:在某个随机变量取某值的条件下,求另一个与之相关的随机变量的数字特征. 作为简介,这里我们直接给出它们的定义.
1. 设是离散型随机向量, 其概率分布为
定义2 (i) 称(绝对收敛)为在 条件下的条件数学期望.
类似地,称 (绝对收敛)为在 条件下的条件数学期望;

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