正弦交流电有效值的巧妙证明
正弦交流电的有效值与其最大值之间关系的证明通常是采用积分的方法,由于高中阶段还没学习这种数学方法,所以高中书本中没有给出证明方法,只是直接给出了正弦交流电的有效值与最大值之间的关系.但是也有比较巧妙的方法利用高中的数学及物理知识证明这一关系.
交流电的有效值是根据电流的热效应来规定的,让交流和直流通过相同阻值的电阻,如果它们在相同的时间内产生的热量相等,就把这一直流的数值叫做这一交流的有效值.
假设有两个交变电压,其变化规律如图所示,它们的最大值与周期都相同,它们的瞬时表达式分别为,,其中,把它们分别加在两个阻值相同的电阻上,设电阻的阻值为R,由于电流的热效应与电流的方向及先后作用的时间顺序无关,故在一个周期内两个交流电产生的焦耳热相同,设都为Q,产生的总的焦耳热Q总=2Q.设它们交流电压的有效值为U,则有:
另外,在任一时刻t,这两个电阻上的热功率分别为:
,,
两个电阻上总的发热功率为:
可以看出:两个电阻上总的发热功率是一定值,与时刻t无关,所以在一个周期内两个电阻上总的发热量为:
所以有:
可得:
同样可以得到:电流有效值;电动势的有效值:
u1
t
u2
t
O
O
Um
Um
-Um
-Um
T
T
t
t