数学建模知识
——之新手上路
一,数学模型的定义
现在数学模型还没有一个统一的准确的定义,因为站在不同的角度可以有不同的定义.不过我们可以给出如下定义:"数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的,简化的结构."具体来说,数学模型就是为了某种目的,用字母,数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表,图像,框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式.一般来说数学建模过程可用如下框图来表明:
数学是在实际应用的需求中产生的,要解决实际问题就必需建立数学模型,从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史.例如,欧几里德几何就是一个古老的数学模型,牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范.今天,数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透,过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化,数量化,需建立大量的数学模型.特别是新技术,新工艺蓬勃兴起,计算机的普及和广泛应用,数学在许多高新技术上起着十分关键的作用.因此数学建模被时代赋予更为重要的意义.
二,建立数学模型的方法和步骤
1. 模型准备
要了解问题的实际背景,明确建模目的,搜集必需的各种信息,尽量弄清对象的特征.
2. 模型假设
根据对象的特征和建模目的,对问题进行必要的,合理的简化,用精确的语言作出假设,是建模至关重要的一步.如果对问题的所有因素一概考虑,无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为,所以高超的建模者能充分发挥想象力,洞察力和判断力 ,善于辨别主次,而且为了使处理方法简单,应尽量使问题线性化,均匀化.
3. 模型构成
根据所作的假设分析对象的因果关系,利用对象的内在规律和适当的数学工具,构造各个量间的等式关系或其它数学结构.这时,我们便会进入一个广阔的应用数学天地,这里在高数,概率老人的膝下,有许多可爱的孩子们,他们是图论,排队论,线性规划,对策论等许多许多,真是泱泱大国,别有洞天.不过我们应当牢记,建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用,因此工具愈简单愈有价值.
4. 模型求解
可以采用解方程,画图形,证明定理,逻辑运算,数值运算等各种传统的和近代的数学方法,特别是计算机技术.一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算,许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来,因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重.
5. 模型分析
对模型解答进行数学上的分析."横看成岭侧成峰,远近高低各不同",能否对模型结果作出细致精当的分析,决定了你的模型能否达到更高的档次.还要记住,不论那种情况都需进行误差分析,数据稳定性分析.
例题:一个笼子里装有鸡和兔若干只,已知它们共有8个头和22只脚,问该笼子中有多少只鸡和多少只兔
解:设笼中有鸡x只,有兔y只,由已知条件有
x+y=8
2x+4y=22
求解如上二元方程后,得解x=5,y=3,即该笼子中有鸡5只,有兔3只.将此结果代入原题进行验证可知所求结果正确.
根据例题可以得出如下的数学建模步骤:
1)根据问题的背景和建模的目的做出假设(本题隐含假设鸡兔是正常的,畸形的鸡兔除外)
2)用字母表示要求的未知量
3)根据已知的常识列出数学式子或图形(本题中常识为鸡兔都有一个头且鸡有2只脚,兔有4只脚)
4)求出数学式子的解答
5)验证所得结果的正确性
这就是数学建模的一般步骤
三,数模竞赛出题的指导思想
传统的数学竞赛一般偏重理论知识,它要考查的内容单一,数据简单明确,不允许用计算器完成.对此而言,数模竞赛题是一个"课题",大部分都源于生产实际或者科学研究的过程中,它是一个综合性的问题,数据庞大,需要用计算机来完成.其答案往往不是唯一的(数学模型是实际的模拟,是实际问题的近似表达,它的完成是在某种合理的假设下,因此其只能是较优的,不唯一的),呈报的成果是一篇论文.由此可见"数模竞赛"偏重于应用,它是以数学知识为引导计算机运用能力及文章的写作能力为辅的综合能力的竞赛.
四,竞赛中的常见题型
赛题题型结构形式有三个基本组成部分:
1. 实际问题背景
涉及面宽——有社会,经济,管理,生活,环境,自然现象,工程技术,现代科学中出现的新问题等.一般都有一个比较确切的现实问题.
若干假设条件
有如下几种情况:
1)只有过程,规则等定性假设,无具体定量数据;
2)给出若干实测或统计数据;

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