谐振子在经典力学与量子力学中的比较
阿丽娅.阿力木 李曜 陆能超
（数理信息学院 物理082）
【摘要】谐振子问题既是经典力学，又是量子力学中的一个基本问题。 本文主要介绍了
在Heisenberg表象中，对于x、p、T、V和H的期望值的计算并同经典谐振子的相应力学量进行了比较。推出经典谐振子动量-位置不确定关系，并且与量子谐振子的不确定关系之间进行比较。
【关键词】经典 量子 谐振子 期望值 不确定关系
1、引言
经典力学中，一个谐振子乃一个系统，当其从平衡位置位移，会感受到一个恢复力F正比于位移x，并遵守胡克定律：F=kx，其中k是一个正值常数。如果F是系统仅受的力，则系统称作简谐振子（简单和谐振子）。而其进行简谐运动——正中央为平衡点的正弦或余弦的振动，且振幅与频率都是常数（频率不与振幅相依）。若同时存在一摩擦力正比于速度，则会存在阻尼现象，称这谐振子为阻尼振子。在这样的情形，振动频率小于无阻尼情形，且振幅随着时间减小。若同时存在一与时间相依的外力，谐振子则称作是受驱振子。力学上的例子包括了单摆（限于小角度位移之近似）、连接到弹簧的质量体，以及声学系统。其他的相类系统包括了电学谐振子
在量子力学里，量子谐振子是经典谐振子的延伸。其为量子力学中数个重要的模型系统中的一者，因为一任意势在稳定平衡点附近可以用谐振子势来近似。此外，其也是少数几个存在简单解析解的量子系统。量子谐振子可用来近似描述分子振动。
2、经典力学中的谐振子
2.1坐标和动量的期望值
___________________________________________________________________ （1）
式中：_________________________ （2）
_________________________________ （3）
2.2势能和动能的期望值
_________________ （4）
____________________ （5）
其中：_ （6）
_______________ （7）
2.3哈密顿量的期望值
_____________ （8）
3、量子中的谐振子
3.1升降算符与的引入
一维谐振子的Hamilton量为_____________________ （9）
令、、x、p和H间有如下关系
_____________________ （10）
___________ _________________________ （11）
_____________________________ （12）
____________________________ （13）
________________ （14）
则有,,_______ （15）
3.2谐振子在Heisenberg表象
_______________________________________ (16)
____________________________________ __ (17)
式(16)对t求导，并利用对易式(15)，即得方程
______________________ （18）