关于分式方程"解"的探究
湖北省钟祥市罗集一中(431925)田道元 何小荣
解分式方程最基本的数学思想是化分式方程为整式方程,最常用的方法是去分母法.这样未知数的取值范围就有可能扩大,所以解出来的未知数的值就必须检验,防止出现增根现象.下面举例探讨关于分式方程"解"的有关情形.
一.关于分式方程有解的探究
例1(2003年南昌市中考题)已知关于x 的方程 - = m有实数根,求 m 的取值范围.
解:原方程可化为:mx2-x+1=0
当m=0时,得x=1,原分式方程无解,不符合题意舍去.
当m≠0时, ⊿=12-4m≥0,解之m≤
所以,当m≤且m≠0时,原分式方程有实数根.
二.关于分式方程有唯一解的探究
例2(2002年荆门市中考题)当 k的值是 ﹍﹍ (填一个值即可)时,方程 = 只有一个实数根.
解:原方程可化为:x2+2x-k=0
当⊿=22+4k=0,即k=-1时,x1=x2=-1
当⊿=22+4k>0,即k>-1时,方程有两个不等实数根.由题意可知:
① 当增根x=0时,代入二次方程有k=0,方程唯一解为x=-2
② 当增根x=1时,代入二次方程有k=3,方程唯一解为x=-3
所以 k=-1,0,3(填一个值即可)
例3(1999年黄冈市竞赛题)若关于x 的方程 - =
只有一个解,试求k值与方程的解.
解:原方程可化为:kx2-(3k-2)x-1=0
当k=0时,原方程有唯一解 x=
当k≠0时,⊿=(3k-2)2+4k=5k2+4(k-1)2 >0,知方程必有两个不等实数根.此时由题意可知:
一元二次方程两根,一根是分式方程的根,另一根是分式方程的增根0或1.当x=0时,不符合舍去;当x=1时,代入得k=,分式方程的解是x=-2.
所以当k=0时,原方程有唯一解x=;当x=1时,原方程有唯一解x=-2.
三.关于分式方程无解的探究
例4(2003年连云港中考题)若关于x 的方程 = +2 无解,则m 的值是﹍﹍
解:原方程可化为:x=4-m.
当原分式方程无解时,则增根x=3, 故代入一次方程有m=1.
所以,当m=1时,原分式方程无解
例5(2003年盐城市中考题)如果分式方程 = 无解, 则 m = ( )
A 1 B 0 C -1 D -2
解:原方程可化为:x= m.
∵ 原分式方程无解 ∴x=-1 故代入一次方程有m=-1.
所以,当m=-1时,原分式方程无解
四.关于分式方程有增根的探究.
例6(重庆市中考题)若关于x的方程 -1=0有增根,则a的值为﹍﹍
解:原方程可化为:(a-1)x=-2.
∵分式方程有增根 ∴ x=1
把 x=1 代入整式方程有 a=-1
练习题:
1.(2002年湖北省数学竞赛题)若关于x的方程 =-1的解为正数,则a的取值范围是﹍﹍ .
2.k为何值时,分式方程 - = 有唯一解.
参考答案:1.a<2且a≠-4 2.k=0,1,4