高中数学联赛模拟试题(1)
一 试
一,选择题(本大题36分,每小题6分)
1.在复平面上,非零复数z1,z2在以i对应的点为圆心,1为半径的圆上,z1·z2的实部为零,argz1=π/6,则z2=( ).
A.-/2+(3/2)iB./2-(3/2)i
C.-3/2+(/2)iD.3/2-(/2)i
2.已知函数f(x)=loga(ax2-x+1/2)在[1,2]上恒正,则实数a的取值范围是( ).
A.(1/2,5/8) B.(3/2,+∞)
C.((1/2,(5/8)∪((3/2,+∞) D.(1/2,+∞)
3.已知双曲线过点M(-2,4),N(4,4),它的一个焦点为F1(1,0),则另一个焦点F2的轨迹方程是( ).
A.(x-1)2/25+(y-4)2/16=1(y≠0)或x=1(y≠0)
B.(x-1)2/16+(y-4)2/25=1(x≠0)或x=1(y≠0)
C.(x-4)2/25+(y-1)2/16=1(y≠0)或y=1(x≠0)
D.(x-4)2/16+(y-1)2/25=1(x≠0)或y=1(x≠0)
4.已知正实数a,b满足a+b=1,则M=的整数部分是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
5.一条笔直的大街宽是40米,一条人行道穿过这条大街,并与大街成某一角度,人行道的宽度是15米,长度是50米,则人行道间的距离是( ).
A.9米 B.10米 C.12米 D.15米
6.一条铁路原有m个车站,为适应客运需要新增加n个车站(n>1),则客运车票增加了58种(注:从甲站到乙站和从乙站到甲站需要两种不同的车票),那么原有车站的个数是( ).
A.12 B.13 C.14 D.15
二,填空题(本大题54分,每小题9分)
1.长方形ABCD的长AB是宽BC的2倍,把它折成无底的正三棱柱,使AD与BC重合,折痕线EF,GH分别交原对角线AC于M,N,则折后截面AMN与底面AFH所成的角是_________.
2.在△ABC中,a,b,c是角A,B,C的对边,且满足a2+b2=2c2,则角C的最大值是_________.
3.从盛满a升(a>1)纯酒精的容器里倒出1升,然后填满水,再倒出1升混合溶液后又用水填满,如此继续下去.则第n次操作后溶液的浓度是_________.
4.已知函数f(x)与g(x)的定义域均为非负实数集,对任意的x≥0,规定f(x)*g(x)=min{f(x),g(x)}.若f(x)=3-x,g(x)=,则f(x)*g(x)的最大值为_________.
5.从1到100的自然数中,每次取出不同的两个数,使它们的和大于100,则可有_________种不同的取法.
6.若实数a>0,则满足a5-a3+a=2的a值属于区间:
①(0,);②(,);③(,+∞);④(0,).
其中正确的是_________.
三,(本大题20分)求证:经过正方体中心的任一截面的面积不小于正方体一个侧面的面积.
四,(本大题20分)直线Ax+Bx+C=0(A·B·C≠0)与椭圆b2x2+a2y2=a2b2相交于P和Q两点,O为坐标原点,且OP⊥OQ,求证:a2b2/c2=(a2+b2)/(A2+B2).
五,(本大题20分)某新建商场设有百货部,服装部和家电部三个经营部,共有190名售货员,计划全商场日营业额(指每日卖出商品所收到的总金额)为60万元,根据经验,各部商品每1万元营业额所需售货员人数如表1,每1万元营业额所得利润情况如表2.商场将计划日营业额分配给三个经营部,同时适当安排各部的营业员人数,若商场预计每日的总利润为c(万元)且满足19≤c≤19.7,又已知商场分配给经营部的日营业额均为正整数万元,问这个商场怎样分配日营业额给三个部 各部分别安排多少名售货员
表1 各部每1万元营业额所需人数表
部门
人数
百货部
5
服装部
4
家电部
2

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