第21届预赛(2004.9.5)
二,(15分)质量分别为m1和m2的两个小物块用轻绳连结,绳跨过位于倾角( =30的光滑斜面顶端的轻滑轮,滑轮与转轴之间的磨擦不计,斜面固定在水平桌面上,如图所示.第一次,m1悬空,m2放在斜面上,用t表示m2自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间.第二次,将m1和m2位置互换,使m2悬空,m1放在斜面上,发现m1自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间为t/3.求ml与m2之比.
七,(15分)如图所示,B是质量为mB,半径为R的光滑半球形碗,放在光滑的水平桌面上.A是质为mA的细长直杆,被固定的光滑套管C约束在竖直方向,A可自由上下运动.碗和杆的质量关系为:mB=2mA.初始时,A杆
被握住,使其下端正好与碗的半球面
的上边缘接触(如图).然后从静止
开始释放A,A,B便开始运动.设A
杆的位置用( 表示,( 为碗面的球心
O至A杆下端与球面接触点的连线方
向和竖直方向之间的夹角.求A与B
速度的大小(表示成( 的函数).
九,(18分)如图所示,定滑轮B,C与动滑轮D组成一滑轮组,各滑轮与转轴间的摩擦,滑轮的质量均不计.在动滑轮D上,悬挂有砝码托盘A,跨过滑轮组的不可伸长的轻线的两端各挂有砝码2和3.一根用轻线(图中穿过弹簧的那条坚直线)拴住的压缩轻弹簧竖直放置在托盘底上,弹簧的下端与托盘底固连,上端放有砝码1(两者未粘连).已加三个砝码和砝码托盘的质量都是m,弹簧的劲度系数为k,压缩量为l0,整个系统处在静止状态.现突然烧断栓住弹簧的轻线,弹簧便伸长,并推动砝码1向上运动,直到砝码1与弹簧分离.假设砝码1在以后的运动过程中不会与托盘的顶部相碰.求砝码1从与弹簧分离至再次接触经历的时间.
第21届复赛
二,(20分) 两颗人造卫星绕地球沿同一椭圆轨道同向运动,它们通过轨道上同一点的时间相差半个周期.已知轨道近地点离地心的距离是地球半径R的2倍,卫星通过近地点时的速度,式中M为地球质量,G为引力常量.卫星上装有同样的角度测量仪,可测出卫星与任意两点的两条连线之间的夹角.试设计一种测量方案,利用这两个测量仪测定太空中某星体与地心在某时刻的距离.(最后结果要求用测得量和地球半径R表示)
六,(20分)如图所示,三个质量都是m的刚性小球A,B,C位于光滑的水平桌面上(图中纸面),A,B之间,B,C之间分别用刚性轻杆相连,杆与A,B,C的各连接处皆为"铰链式"的(不能对小球产生垂直于杆方向的作用力).已知杆AB与BC的夹角为p-a ,a < p/2.DE为固定在桌面上一块挡板,它与AB连线方向垂直.现令A,B,C一起以共同的速度v沿平行于AB连线方向向DE运动,已知在C与挡板碰撞过程中C与挡板之间无摩擦力作用,求碰撞时当C沿垂直于DE方向的速度由v变为0这一极短时间内挡板对C的冲量的大小.
第二十届预赛(2003年9月5日)
五,(20分)有一个摆长为l的摆(摆球可视为质点,摆线的质量不计),在过悬挂点的竖直线上距悬挂点O的距离为x处(x
(1)若运动员在跳远的全过程中的某时刻to把物块沿与x轴负方向成某θ角的方向抛出,求运动员从起跳到落地所经历的时间.
(2)在跳远的全过程中,运动员在何处把物块沿与x轴负方向成θ角的方向抛出,能使自己跳得更远 若v0和u一定,在什么条件下可跳得最远 并求出运动员跳的最大距离.
第二十届复赛
三,(20分)有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫星的设想.其设想如下:沿地球的一条弦挖一通道,如图所示.在通道的两个出口处和,分别将质量为的物体和质量为的待发射卫星同时自由释放,只要比足够大,碰撞后,质量为的物体,即待发射的卫星就会从通道口冲出通道;设待发卫星上有一种装置,在待发卫星刚离开出口时,立即把待发卫星的速度方向变为沿该处地球切线的方向,但不改变速度的大小.这样待发卫星便有可能绕地心运动,成为一个人造卫星.若人造卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动,则地心到该通道的距离为多少 己知=20,地球半径=6400 km.假定地球是质量均匀分布的球体,通道是光滑的,两物体间的碰撞是弹性的.