第六章 线性空间
§1. 集合与映射
一,集合(子集,运算(交,并),相等)
定义1:卡氏积(加氏积):
二,映射
定义2 集合M→集合的一个对应法则::,使
称为M→的一个映射.
定义3 集合M→M的映射称为M的一个变换.
例1:判别下列法则是否为映射.
1.P为数域, 作:A→|A|, .
:a→aE,.
2.M=P[x],作:,;
3.M—集合,作:,——恒等映射,记为IM;
4.M—非负整数集,取定,作:其中,;
5.M—实数集,,作:,,,.
定义4 (乘积)设, 为映射,
规定::,.
例如::;:.
性质:1, 2,.
定义5 单射(1—1的):,有;
满射(映上的):,使=或.
一一对应:(1—1对应)既单又满.
注:两有限集之间存在1—1对应所含元素个数相等.
逆映射:为的一一对应,
作:使其中.
性质:1—1对应的逆映射和1—1对应的乘积,仍为1—1对应.
例2:设M=R+,试找一个的一一对应.
().
例3:设为的一个一一映射,试求
例4:设为的一个满映射:(1),
(2),
解:(1) 应为;
(2)成立.
例5:下列法则是否为变换 单 满的
1.,,;
2.,,.
§2 线性空间的定义与性质
例1:.
例2:.
定义:V为P上的线性空间,含"+":;
含:"·":.

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