甲,乙两人合养了n头羊,而每头羊的卖价又恰为n元,全部卖完后,两人分钱方法如下:先由甲拿十元,再由乙拿十元,如此轮流,拿到最后,剩下不足十元,轮到乙拿去.为了平均分配,甲应该补给乙多少元
解:n头羊的总价为元,由题意知元中含有奇数个10元,即完全平方数的十位数字是奇数.如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6.所以,的末位数字为6,即乙最后拿的是6元,从而为平均分配,甲应补给乙2元.

附:完全平方数的性质:
性质1:完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9.
性质2:奇数的平方的个位数字为奇数,十位数字为偶数.
证明 奇数必为下列五种形式之一:
10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9
分别平方后,得
(10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1
(10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9
(10a+5)=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5
(10a+7)=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9
(10a+9)=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1
综上各种情形可知:奇数的平方,个位数字为奇数1,5,9;十位数字为偶数.
性质3:如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6;反之,如果完全平方数的个位数字是6,则它的十位数字一定是奇数.
证明 已知=10k+6,证明k为奇数.因为的个位数为6,所以m的个位数为4或6,于是可设m=10n+4或10n+6.则
10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6
或 10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6
即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1
或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3
∴ k为奇数.
推论1:如果一个数的十位数字是奇数,而个位数字不是6,那么这个数一定不是完全平方数.
推论2:如果一个完全平方数的个位数字不是6,则它的十位数字是偶数.
性质4:偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1.
这是因为 (2k+1)=4k(k+1)+1
(2k)=4
性质5:奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型.
在性质4的证明中,由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数;由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数.
性质6:平方数的形式必为下列两种之一:3k,3k+1.
因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类:3m,3m+1, 3m+2.平方后,分别得
(3m)=9=3k
(3m+1)=9+6m+1=3k+1
(3m+2)=9+12m+4=3k+1
同理可以得到:
性质7:不能被5整除的数的平方为5k±1型,能被5整除的数的平方为5k型.
性质8:平方数的形式具有下列形式之一:16m,16m+1, 16m+4,16m+9.
除了上面关于个位数,十位数和余数的性质之外,还可研究完全平方数各位数字之和.例如,256它的各位数字相加为2+5+6=13,13叫做256的各位数字和.如果再把13的各位数字相加:1+3=4,4也可以叫做256的各位数字的和.下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加,如果得到的数字之和不是一位数,就把所得的数字再相加,直到成为一位数为止.我们可以得到下面的命题:
一个数的数字和等于这个数被9除的余数.
下面以四位数为例来说明这个命题.
设四位数为,则

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