艾滋病疗法的评价及疗效的预测
帅治渝,梁文真,黄文婷
指导教师 朱伟
摘要:本文主要就艾滋病的疗法进行了评价,并针对所提供的数据分别利用一元多项式非线性回归模型和改进的平滑GM(1,1)模型-平滑灰度模型,对治疗方法的疗效进行了的预测,由此得出了不同方案下最佳停止治疗时间.针对问题一,首先利用一元多项式非线性回归模型对问题进行分析,得出CD4和HIV浓度的整体变化规律,然后利用平滑处理法,改变了灰色模型单调无限增加的特点,进而引入平滑灰度模型并对其求解,得出在各个病情阶段的最佳停止治疗时间.针对问题二,根据如下疗法优劣评价准则:①服药过后CD4浓度维持"安全"水平的时间的长短.②服药后,在相同时间内,CD4浓度含量变化速度的快慢,对疗法进行评价,判断得出疗法4的治疗效果是最好的.最佳治疗时间为21周.针对问题三,考虑到了经济因素,首先对四种疗法的费用进行了评价.然后,结合各疗法的疗效,利用费用-效果比的方法对4种疗法进行评价.得出疗法3的综合评价是最高的,进而利用一元多项式非线性回归求出采用疗法3时,最佳停止治疗时间为12周左右.
关键字:平滑GM(1,1)灰色模型;一元多项式非线性回归;期望;费用-效果比值
1 问题假设
1.假设两个相邻测试点之间每一个周的CD4浓度(HIV)变化率相等.
2.假设测试的病人在测试期间均未出现并发症,测量数据准确有说服力.
3.假设年龄对CD4浓度没有影响.
4.假设不考虑测试对象之间的个体差异.
5.假设不统计存在异常现象的个体数据.
6.假设病人每天都按时吃药.
7.假设每一个月有30天.
2 全局符号说明
:CD4浓度在时刻时0～t的总和;:平滑系数;:CD4在时刻进行测量时的浓度值;:第个测试点与第个测试点之间CD4(HIV)的周均变化率;:在时刻的GM(1,1)的预测值;:在时刻的GM(1,1)的值;:第种疗法的费用函数;:第种疗法的疗效函数.
3 模型的建立与求解
3.1 问题一:ACTG320的治疗效果
3.1.1 问题分析
艾滋病治疗的目的是要尽量减少人体内HIV的数量,同时产生更多的CD4,至少要有效降低CD4的减少速度,以提高人体免疫能力.但是目前为止药物都不能杀死HIV病毒,并且到一定阶段药物还会对身体产生副作用,因此需要停止治疗.ACTG320在进行测试后,需要对其药性进行预测,即是否应该继续服药,或者什么时候应该提前终止治疗.
需要对疗效进行预测,可以对所有数据进行整合,进而得出一个规律,判断最佳治疗的时间.
对治疗效果进行预测,本文认为数据虽然是无规律的,但是数据都是以时间序列性资料为基础的.所以,可以利用灰色系列预测模型GM(1,1)对原始数据进行转换,建立有规律的生成数列的回归方程.但是由于GM(1,1)模型是关于指数函数的单调函数,所以,我们必须对GM(1,1)模型进行改进,进一步对治疗效果预测.问题关键还在于找到测量点以及测量值.
在实际过程中,需要对数据测量的时间进行处理,尽可能为等时间间隔测量.并且,每一个测量点的CD4浓度应该进行数据处理.然后通过GM(1,1)模型,得到预测数据,从而利用相邻时间间数值的变化率,绘制出一条变化率曲线,进而求出最佳停止治疗时间.
3.1.2 模型建立
3.1.2.1 一元多项式非线性回归模型
经过分析,构造一元多项式非线性回归模型

在此,我们采用2次拟合,m=2,通过绘图进行分析,求解.
这里以CD4初始浓度<50的病人为例.
图一
由上图可见,CD4的浓度随着时间先上升,到达一定峰值后便会开始下降,与此同时,HIV的浓度随着时间先下降,然后到一定时间开始上升.这是符合CD4和HIV变化的大致规律的,但是误差较大.
从图形可以看出,CD4的峰值与HIV的谷值相比,稍有延迟.这是因为艾滋病患者同时服用的三种药物的作用均是制约HIV的增长,而对CD4没有直接的作用.所以,在服药初期,HIV含量的降低速度稍大于CD4的增长速度,但是,由图形可以看出CD4的含量变化与HIV的变化情况是有直接联系的.由于HIV的检测费用高,HIV的数据缺省比较严重,而CD4与HIV的联系是直接的,所以,我们用CD4的含量变化来确定最佳治疗终止时间是是合理的.
3.1.2.2 GM(1,1)灰色预测原始模型
此建模过程是将无规律的原始数据,经过累加以及求平均值等过程,使其成为较有规律的生成数列后进行模型的建立.其中,为一组无规律的原始数据,在问题一中,代表在时刻,具有代表性的CD4的浓度含量.

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